69、经济中多项式方程所有解的计算

经济中多项式方程所有解的计算

1 多项式方程求解方法概述

在经济模型中，求解多项式方程的所有解是一个重要问题。传统上，通过观察生成元的齐次化版本可以得到解，但这种方法成本往往过高。

1.1 同伦方法基本定理

同伦 $H$ 如式（23）所示，具有贝祖数 $d$。对于几乎所有 $\gamma \in [0, 2\pi)$，有以下结论：
1. 同伦有 $d$ 条连续的解路径。
2. 每条路径要么收敛到一个孤立的非奇异解，要么收敛到一个奇异解（即雅可比矩阵的秩下降的解）。
3. 如果 $b$ 是一个重数为 $m$ 的孤立解，则有 $m$ 条路径收敛到它。
4. 沿着路径，同伦参数 $t$ 单调增加，即路径不会向后弯曲。

基于这个定理，我们可以应用同伦 $H$ 来找到系统（21）的所有解，且不会有发散路径。从系统（21）的解可以得到原始系统（18）的解。

这种方法的一个额外优势是可以通过 $u$ 对解进行缩放。如果解的某个分量 $z_i$ 变得太大，会导致数值问题，比如在该点计算多项式变得困难。此时可以选择一组新的 $\xi_i$。而且，该方法消除了无限路径的特殊情况，在跟踪路径时无需检查路径长度是否超过某个界限。

不过，理论上虽然消除了无穷远处解的问题，但要判断路径是否发散，仍需确定 $b_0$ 是否实际上等于 0。由于只能在数值精度范围内确定解，所以仍有可能过早截断路径。

1.2 减少路径数量的方法

路径数量 $d$ 会随着单个方程的次数迅速增长。对于许多经济模型，预期只有少数均衡，即系统的实解较少，经济上有意义的解更少。因此，可能需要跟踪