67、经济模型中多项式方程所有解的计算

经济模型中多项式方程所有解的计算

在经济模型的研究中，求解多项式方程组是一个常见且重要的问题。Gröbner基作为一种强大的工具，可以有效地应用于寻找这些方程的所有解。本文将介绍如何使用Gröbner基解决两个简单的经济问题，并简要介绍全解同伦方法。

1. 参数化形状引理与计算机代数系统

在某些经济应用中，使用参数化的Gröbner基可以更好地分析问题。以下是一个示例，展示如何引入参数。

首先，考虑一个方程组，将最后一个方程中 $x$ 项的系数作为自由参数 $e$，即最后一个方程变为 $ex + yz^9 = 0$。

在Singular中，我们需要在开始时与环一起声明参数：

ring R=(0,e),(x,y,z),lp;
ideal I=(
x-y*z**3-2*z**3+1,
-x+y*z-3*z+4,
e*x+y*z**9);
ideal G=groebner(I);
G;
G[1]=2*z11+3*z9-5*z8+(5e)*z3+(-4e)*z2+(-e)
G[2]=(-e2-e)*y+(-8e-10)*z10+(-10e-15)*z8+(20e+25)*z7
(+5e)*z6+(-5e)*z5
+(5e)*z4+(-5e)*z3+(-20e2-20e)*z2+(16e2+15e)*z
(+3e2+3e)
G[3]=(-e-1)*x+2*z9+5*z7-5*z6+5*z5-5*z4+5*z3-5*z2-1

我们观察到，对于所有参数 $e > 0$，笛卡尔法则表明 $z$ 的非零实解数量不能超过3。

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