68、多项式方程所有解的计算方法解析

多项式方程所有解的计算方法解析

1. 数学基础

1.1 基本定理

• 代数基本定理 ：设 (f) 是次数 (d > 0) 的多项式，则 (f) 在复数域 (\mathbb{C}) 中有一个根。由此可得，任何次数为 (d) 的一元复系数多项式 (f(z)) 可写成 (f(z) = c(z - b_1)^{r_1}(z - b_2)^{r_2} \cdots (z - b_l)^{r_l}) 的形式，其中 (c \in \mathbb{C} \setminus {0})，(b_1, b_2, \cdots, b_l \in \mathbb{C})，(r_1, r_2, \cdots, r_l \in \mathbb{N})，且 (\sum_{i = 1}^{l} r_i = d)，(r_j) 称为根 (b_j) 的重数。例如，多项式 (z^3) 有一个重数为 3 的根 (z = 0)；次数为 (d) 且有 (d) 个不同复根的简单多项式 (g(z) = z^d - 1)，其根为 (r_k = e^{\frac{2\pi ik}{d}})，(k = 0, \cdots, d - 1)，这些根称为 (d) 次单位根。
• 齐次多项式定义 ：若对于任意 (a \in \mathbb{C})，多项式 (f(z_1, \cdots, z_n)) 满足 (f(az_1, \cdots, az_n) = a^d f(z_1, \cdots, z_n))，则称 (f) 是关于变量 (z_1, \cdots, z_n) 的 (d) 次齐次多项式。任何次数为 (d) 的多项式 (f) 可写成 (f = \su