42、量子力学中的若干重要概念与理论

量子力学中的若干重要概念与理论

1. 波函数的求解

当时间 $t = 0$ 时，势函数 $V(x) = 0$ 。我们要写出 $t > 0$ 时的波函数 $\psi(x, t)$ 。
已知初始波函数 $\psi_0(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin(\frac{\pi(x - \frac{a}{2})}{a})$ ，平面波为 $\varphi_k(x, t) = \frac{e^{i(kx - \omega(k)t)}}{\sqrt{2\pi}}$ ，其中 $\hbar\omega = \frac{(\hbar k)^2}{2m}$ 。
通过展开 $\psi_0(x) = \int dk \varphi_k(x) \langle \varphi_k|\psi_0\rangle$ ，可得 $\langle \varphi_k(x, 0)|\psi_0(x)\rangle = \alpha(k)$ 。
经过计算，$\alpha(k) = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} dx \frac{e^{-ikx}}{\sqrt{\pi a}} \sin(\frac{\pi(x - \frac{a}{2})}{a}) = 2\sqrt{\pi a} \frac{\cos(\frac{ak}{2})}{a^2k^2 - \pi^2}$ 。
最终得到波函数 $\psi(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} \alpha(k) \frac{e^{i(kx - \omega(k)t)}}{\sqrt{2\pi}} dk = \sqrt{\frac{a}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \fr