bzoj2694 Lcm 莫比乌斯反演

Description

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求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m|\mu (\gcd (i,j))|\cdot lcm(i,j)$$
$n\le 4\ast 10^6$

Solution

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套路题，我们认为$n\le m$
化一下柿子可以得到$$\sum _{T=1}^{n}T\cdot S(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )S(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor )\sum _{d|T}|\mu (d)|\mu (\frac{T}{d})\frac{T}{d}$$
这里$S(x)=\sum _{i=1}^{n}i$
容易发现$|\mu (x)|$是积性函数，$\mu (x)x$也是积性函数，那么后面那一坨都是积性函数了，就可以愉快地线筛它了
然后就没了，这样子做是预处理$O(n)$，总共$O(n+T\sqrt{n})$的

Code

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这是一个口胡题解