二次剩余学习小记

最新推荐文章于 2025-05-10 18:45:00 发布

olahiuj

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分类专栏：杂文

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本文探讨了在模p意义下求解二次剩余问题，即寻找满足x^2≡n(modp)的x值。文章介绍了勒让德符号的概念及其性质，并通过随机选取a值构造了解决方案，最终得出x的表达式。文中还讨论了相关数学定理的应用。

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BG

学学学！
太具体的证明就不放了

我们要解决的是这样一类问题，求 $x2≡n(modp)x^2\equiv n\pmod {p}$
其中n为常数，x是未知数，对于这样的方程 $n$ 有 $p−12\frac{p-1}{2}$ 种取值使得方程有解。

证明：设存在不同整数u和v它们的平方相等，那么有 $(u+v)(u−v)∣p\left(u+v\right)\left(u-v\right)|p$
由于 $u≠vu\ne v$ 因此 $u−v̸∣pu-v\not| p$ ，那么 $(u+v)∣p\left(u+v\right)|p$ ，也就是正负两解，比较直观

我们定义勒让德符号为
$(ap)={1,a在模p意义下是二次剩余−1,a在模p意义下是非二次剩余0,a≡0(modp)\left(\frac{a}{p}\right)= \begin{cases} 1,&a\text{在模$p$意义下是二次剩余}\\ -1,&a\text{在模$p$意义下是非二次剩余}\\ 0,&a\equiv0\pmod p \end{cases}$

并且 $(ap)≡ap−12(modp)\left(\frac{a}{p}\right)\equiv{a}^{\frac{p-1}{2}}\pmod{p}$

求解上面的x，我们需要随机一个a使得 $(a2−np)≡−1(modp)\left(\frac{a^2-n}{p}\right)\equiv -1\pmod{p}$ ，随机出解的期望次数为2。我们记 $ω=a2−n\omega =a^2-n$

什么意思呢？这等价于我们在模p意义下定义了一个类似单位复数i的东西
并且有 $x2≡(a+ω)p+1≡(a−ω)(a+ω)≡a2−ω2≡n(modp)x^2\equiv{\left(a+\omega\right)}^{p+1}\equiv\left(a-\omega\right)\left(a+\omega\right)\equiv a^2-{\omega}^2\equiv n\pmod{p}$

其中有几个有趣的结论：
$(a+ω)p≡ap+ωp{\left(a+\omega\right)}^p\equiv a^p+{\omega}^p$ ，这个证明可以用二项式展开把带p的去掉即可
$ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv1\pmod{p}$ 不要忘了由于这里是同余的因此满足费马小定理