bzoj1430 小猴打架 prufer编码

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prufer编码

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本文探讨了一群小猴子通过打架最终成为好友的所有可能过程数量。采用数学方法将问题转化为生成树的数量计算，利用prufer编码理论推导出具体公式，并提供了一段C语言代码实现解决方案。

Description

一开始森林里面有N只互不相识的小猴子，它们经常打架，但打架的双方都必须不是好朋友。每次打完架后，打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识，成为好朋友。经过N-1次打架之后，整个森林的小猴都会成为好朋友。现在的问题是，总共有多少种不同的打架过程。比如当N=3时，就有{1-2,1-3}{1-2,2-3}{1-3,1-2}{1-3,2-3}{2-3,1-2}{2-3,1-3}六种不同的打架过程。

50%的数据N<=10^3。
100%的数据N<=10^6。
方案数mod 9999991。

Solution

结论题
N-1次打架之后形成连通图，实际上可以看做将N-1条边接入图中使其形成树，可以将树化为唯一对应的prufer编码，那么，树的个数实际就是prufer编码的的数目。
由转化prufer编码的方式可知，对于一棵N节点树来说，其prufer编码有N-2位，而生成树的个数就是prufer的个数。那么，就是N^(N-2)个，而加边顺序有(N-1)!种，根据乘法原理，则共有(N-1)!*(N^(N-2))个

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
typedef long long ll;
const int MOD=9999991;
ll ksm(ll x,ll y) {
    ll ret=1;
    while (y) {
        if (y&1) ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main(void) {
    int n; scanf("%d",&n);
    ll ans=ksm((ll)n,(ll)(n-2));
    for (ll i=1;i<n;i++) ans=ans*i%MOD;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}