斯特林数

洛谷P1655 小朋友的球

题目描述

@发源于 小朋友最近特别喜欢球。有一天他脑子抽了,从口袋里拿出了N个不同的球,想把它们放到M个相同的盒子里,并且要求每个盒子中至少要有一个球,他好奇有几种放法,于是尝试编程实现,但由于他天天不好好学习,只会上B站看游泳教练,于是他向你求助。

输入输出格式

输入格式:

 

多组数据,每行两个数N,M。

 

输出格式:

 

每组数据一行,表示方案数。

 

输入输出样例

输入样例#1:
4 2
1 1
输出样例#1:
7
1

说明

【样例解释】

N=4,M=2

1,2 3 4

2,1 3 4

3,1 2 4

4,1 2 3

1 2,3 4

1 3,2 4

1 4,2 3

对于20%的数据,满足1≤N,M≤10;

对于100%的数据,满足1≤N,M≤100,数据组数≤10。



stirling数

斯特林数解决的是这样一个问题:
n个不相同的元素,分割为m个集合,每个集合非空【至少有一个元素】,集合无序,问有多少种分割方法?
其实就是题目所述的分球问题

我们令f(n,m)为答案,根据dp的思想,对于第i个球,要么单独放一个盒子,要么在前i-1个球放完后加入其中一个盒子
那么就有f(n,m)=f(n-1,m-1)+j*f(n-1,m)
边界f(i,i)=1,i>=0
f(i,0)=0,i>=1
那么加上高精度就可以解了


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn=105,INF=2000000000;

int N,M;

class BIG{
	public:
		int n[maxn],len;
		BIG() {memset(n,0,sizeof(n));len=0;}
}dp[maxn][maxn];

istream& operator >>(istream& in,BIG& a){
	string s;
	in>>s;
	a.len=s.length();
	for(int i=0;i<a.len;i++) a.n[i]=s[a.len-i-1]-'0';
	return in;
}

ostream& operator << (ostream& out,const BIG& a){
	if(!a.len) cout<<0;
	for(int i=a.len-1;i>=0;i--) out<<a.n[i];
	return out;
}

BIG operator + (const BIG& a,const BIG& b){
	BIG c;
	c.len=max(a.len,b.len);
	int carry=0,temp;
	for(int i=0;i<c.len;i++){
		temp=a.n[i]+b.n[i]+carry;
		c.n[i]=temp%10;
		carry=temp/10;
	}
	if(carry) c.n[c.len++]=carry;
	return c;
}

BIG operator * (const BIG& a,const int& b){
	int carry=0,temp;
	BIG c;
	c.len=a.len;
	for(int i=0;i<a.len;i++){
		temp=a.n[i]*b+carry;
		c.n[i]=temp%10;
		carry=temp/10;
	}
	while(carry) c.n[c.len++]=carry%10,carry/=10;
	return c;
}

int main()
{
	for(int i=0;i<=100;i++){
		dp[i][i].len=dp[i][i].n[0]=1;
	}
	for(int i=1;i<=100;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++){
			dp[i][j]=dp[i-1][j]*j+dp[i-1][j-1];
		}
	while(cin>>N>>M) cout<<dp[N][M]<<endl;
	return 0;
}




 

转载于:https://www.cnblogs.com/Mychael/p/8282888.html

<think>好的,我现在需要回答用户关于斯特林的定义、用途和学背景的问题。首先,我要确保自己正确理解斯特林不同类型,因为斯特林分为第一类和第二类,可能用户并不清楚两者的区别,所以需要分别解释。 首先,斯特林的定义。斯特林第一类,记作s(n,k),通常有两种形式:有符号和无符号的。用户可能不知道这一点,需要明确说明。而斯特林第二类,记作S(n,k),是将n个元素分成k个非空子集的方式。这需要举例子,比如用具体的值帮助理解,比如S(3,2)=3,这样更直观。 接下来是学背景。斯特林出现在组合学和排列组合的问题中,可能涉及排列的循环结构或者集合的划分。需要联系到排列组合的基本概念,比如排列的循环分解,或者集合的分划,这可能和生成函或递推公式有关。比如斯特林的递推关系式,比如s(n,k)=s(n-1,k-1) + (n-1)s(n-1,k),而第二类的递推式是S(n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)。这些递推式可能需要解释其背后的组合意义,比如新增一个元素时如何分配到已有的子集或新的子集。 然后是用途。斯特林的应用领域可能包括组合计、多项式展开(比如将阶乘表示为多项式,或者将普通幂转换为下降阶乘)、概率论中的计算,或者统计学中的某些分布。比如在展开x^n时,可以用斯特林转化为下降阶乘的和。这需要举例,比如x^3 = S(3,1)x^{(1)} + S(3,2)x^{(2)} + S(3,3)x^{(3)},其中x^{(k)}是下降阶乘。这样用户能更清楚其应用。 同时,可能需要提到斯特林在排列组合问题中的具体应用,比如计算包含特定循环的排列,或者将元素分配到不同盒子的方式。此外,斯特林和其他学概念的联系,比如贝尔(所有划分的总,即贝尔是第二类斯特林的和)、或与拉赫、生成函的关系。 需要注意的是,用户提供的引用中有提到正态分布、几何测量和信息理论,但这些可能与斯特林关系不大。不过,用户之前的引用可能只是示例,当前问题与这些无关,所以可以忽略,除非有相关联系,但暂时没有到明显的关联,所以可能不需要引用这些内容。 接下来需要生成相关问题。可能的问题包括斯特林的递推公式如何推导,斯特林与贝尔的关系,斯特林在哪些学问题中有应用,或者实际应用中的例子,如密码学、统计学中的使用等。需要确保问题覆盖不同方面,帮助用户进一步探索。 现在检查是否遗漏了重要点:斯特林的生成函,或者其与排列组合中的其他的比较,比如与组合或排列的区别。此外,可能需要说明斯特林在离散学和计算机科学中的应用,比如算法分析中的情况划分,或者据结构中的某些问题。 最后,要确保回答结构清晰,分点说明定义、学背景、用途,每个部分简明扼要,同时使用正确的中文术语和LaTeX格式的学表达式。例如,斯特林第一类使用$s(n,k)$或$\genfrac[]{0pt}{}{n}{k}$,第二类用$S(n,k)$或$\genfrac\{\}{0pt}{}{n}{k}$,但用户可能更熟悉中括号和大括号的表示法,所以需要明确标注。</think>### 斯特林的定义、用途与学背景 #### 1. **定义** 斯特林是组合学中描述排列与集合划分方式的两类重要整,分为**第一类斯特林**和**第二类斯特林**。 - **第一类斯特林**(无符号): 记作 $s(n, k)$ 或 $\genfrac[]{0pt}{}{n}{k}$,表示将 $n$ 个不同元素划分为 $k$ 个**非空循环排列**的方式。例如,$s(4, 2) = 11$,即4个元素的排列中形成2个循环的情况有11种[^1]。 - **第二类斯特林**: 记作 $S(n, k)$ 或 $\genfrac\{\}{0pt}{}{n}{k}$,表示将 $n$ 个不同元素划分为 $k$ 个**非空子集**的方式。例如,$S(3, 2) = 3$,即3个元素分成2个子集的方式有3种。 #### 2. **学背景** 斯特林的研究起源于18世纪,与排列组合的学理论密切相关: - **第一类**与排列的循环结构相关,其递推公式为: $$s(n, k) = s(n-1, k-1) + (n-1)s(n-1, k).$$ 新增元素可单独成循环或插入已有循环中。 - **第二类**与集合划分相关,递推公式为: $$S(n, k) = S(n-1, k-1) + kS(n-1, k).$$ 新增元素可单独成子集或加入现有子集。 #### 3. **用途** 斯特林在多个学和工程领域有广泛应用: - **多项式展开**: 第二类斯特林用于将普通幂 $x^n$ 转换为下降阶乘多项式: $$x^n = \sum_{k=0}^{n} S(n, k) x^{\underline{k}},$$ 其中 $x^{\underline{k}} = x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)$[^2]。 - **组合计**: 第一类用于计算含指定循环的排列,第二类用于计算集合划分或等价关系(如密码学中的密钥分配问题)。 - **概率与统计**: 在泊松分布、复合分布的概率生成函中,斯特林用于展开高阶矩。 - **算法分析**: 斯特林出现在递归算法复杂度分析中,例如分治策略的划分子问题方式。 --- ###
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