6、斯特林数生成函数及相关性质解读

斯特林数生成函数及相关性质解读

1. 第一类斯特林数的指数生成函数

为了推导第一类斯特林数的指数生成函数，我们采用与第二类斯特林数类似的方法。设固定下参数 $k$ 对应的指数生成函数为 $f_k(x)$：
[
\sum_{n = 0}^{\infty} \begin{bmatrix} n \ k \end{bmatrix} \frac{x^n}{n!} = f_k(x)
]
对 $k$ 求和，并结合相关公式可得：
[
\sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \begin{bmatrix} n \ k \end{bmatrix} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \sum_{k = 0}^{\infty} \begin{bmatrix} n \ k \end{bmatrix} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^n = \sum_{k = 0}^{\infty} f_k(x)
]
倒数第二个和式为 $\frac{1}{1 - x}$，所以 $f_k(x)$ 需满足其和为 $\frac{1}{1 - x}$。$f_k(x) = x^k$ 虽为一个候选，但并非斯特林数序列的生成函数，另一个候选是：
[
f_k(x) = \frac{1}{k!} \ln \left( \frac{1}{1 - x} \right)^k
]
读者可验证该函数序列能给出正确结果（提示：证明 $f_k$ 满足与 $\begin{bmatrix} n \ k \end{bmatrix}$ 基本递推