子集卷积学习笔记

最新推荐文章于 2023-11-01 18:22:28 发布

原创

最新推荐文章于 2023-11-01 18:22:28 发布 · 1.4k 阅读

5 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文介绍了子集卷积的概念，包括或卷积、与卷积和异或卷积。通过转换思想，利用类似于FFT的方法，将子集卷积的复杂度降低到线性或对数级别。文中给出了详细的计算过程和代码示例，帮助理解并实现子集卷积的高效算法。

前言

子集卷积，指的是 $ci=∑j⊕k=iaj×bkc_i=\sum\limits_{j\oplus k=i}a_j\times b_k$ ，其中 $⊕\oplus$ 指的是 $∪,∩,xor\cup,\cap,xor$ 。
在这里，把 $i, j, k$ 的二进制看作集合。

或卷积

现在我们先求 $ci=∑j∪k=iaj×bkc_i=\sum\limits_{j\cup k = i}a_j\times b_k$ 。
朴素的求法是 $O(n^2)$ 的。
我们回忆 $F F T$ 是怎么加速卷积过程的。 $F F T$ 是快速得到多项式的一个点值表示，其实是找到一种变换，满足 $Ci′=Ai′×Bi′C'_i=A'_i\times B'_i$ ，让它能够在 $O (n)$ 的时间内得到 $C$ 的点值表示。
在这里，我们也用这个思想。不妨令 $A^{'}$ 表示 $A$ 的变换。
~~注意到~~（我也不知道怎么想出来的），当 $ai′=∑j⊆iaja'_i=\sum\limits_{j\subseteq i}a_j$ ， $ci′=ai′×bi′c'_i=a'_i\times b'_i$ 。
$a'_i$ 其实就是子集和。我们稍微证明一下。

$ci′=∑d⊆icd=∑d⊆i∑j∪k=daj×bk=∑j∪i,k∪iaj×bk=(∑j∪iaj)×(∑k∪ibk)=ai′×bi′c'_i=\sum\limits_{d\subseteq i}c_d=\sum\limits_{d\subseteq i}\sum\limits_{j\cup k=d}a_j\times b_k=\sum\limits_{j\cup i,k\cup i}a_j\times b_k=(\sum\limits_{j\cup i}a_j)\times(\sum\limits_{k\cup i}b_k)=a'_i\times b'_i$

最低0.47元/天解锁文章