【网络流24题】最小路径覆盖问题

最新推荐文章于 2021-06-02 21:49:13 发布

原创

最新推荐文章于 2021-06-02 21:49:13 发布 · 450 阅读

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该博客讨论了如何解决有向无环图（DAG）的最小路径覆盖问题。通过将问题转化为最大匹配问题，作者提供了算法思路：将每个节点拆分为两个节点，并根据图的边构造新的匹配图。运行最大匹配算法得到最大匹配数，最小路径覆盖即为节点数减去最大匹配数。博客还包含输入输出格式及样例。

题目描述

给定有向图 G=(V,E) 。设 P 是 G 的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果 V 中每个定点恰好在P的一条路上，则称 P 是 G 的一个路径覆盖。PP中路径可以从 V 的任何一个定点开始，长度也是任意的，特别地，可以为 0 。G 的最小路径覆盖是 G 所含路径条数最少的路径覆盖。设计一个有效算法求一个 GAP (有向无环图) G 的最小路径覆盖。

输入格式

第一行有 22 个正整数 n 和 m 。 n 是给定GAP(有向无环图) G 的顶点数， m 是 G 的边数。接下来的 m 行,每行有两个正整数 i 和 j 表示一条有向边 (i,j)。

输出格式

从第1 行开始，每行输出一条路径。文件的最后一行是最少路径数。

输入输出样例

输入 #1

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

输出 #1

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

分析

如果全部点本身作为一条路径，那总共有 $n$ 条路径。任何两个点相连（一个点入度与出度最多为 $1$ )，都会使路径数减 $1$ ，现在就要让相连的点尽量多。
~~应该不难想到这是最大匹配问题~~（好吧有点难想？
将每个点 $i$ 拆成两个点 $i, i^{'}$ ，对于每条有向边 $(a, b)$ ，从 $a$ 到 $b^{'}$ 连一条边，表示这是一个匹配。如图。
在这里插入图片描述
这样，跑最大匹配，就是最多可以连的连边数。
最小路径覆盖 = 点数 - 最大匹配数

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define inf 2147483647
using namespace std;
struct node{
   
   
	int a, b, c, n;
}d[N * 2], e[N];
int du[N], dep[N], gap[N], h[N], v[N], sum, cnt = 1, ans