最小路径覆盖问题 及 相关公式定理

这篇博客详细解释了图论中的最小边覆盖、最小无重复路径覆盖、最小链覆盖等概念,并介绍了它们与最大匹配数、最大独立集之间的关系。通过DAG和二分图,阐述了如何求解最小无重复路径覆盖和最小链覆盖问题,同时引用了Dilworth定理进行理论支持。还提供了POJ1422和BZOJ1143题目作为实例。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

这篇博文写给分不清以下名词的读者:
1.最小边覆盖
2. 最小有重复路径覆盖
3. 最小无重复路径覆盖
4. 最小链覆盖
5. 最大反链
6. 最大独立集
以下内容假定读者已经掌握了二分图匹配:

先说明最小边覆盖和最小路径覆盖的关系:
最小边覆盖和最小路径覆盖本质相同,但最小边覆盖相对于二分图而言,而最小路径覆盖相对于DAG而言。

对于二分图而言,令|V|为二分图中的点数:
定义
最小点覆盖:最小点覆盖是一个点集,用最少的点和所有边关联。
最小边覆盖:最小边覆盖是一个边集,对于图中所有的点,至少有一条边与其关联。
独立集:独立集是一个点集,任意两点都不存在边。

  1. 最大匹配数 + 最大独立集 = |V|
  2. 最小点覆盖 = 最大匹配数
  3. 最小边(路径)覆盖 = 最大独立集

对于DAG而言:
定义
1. 最小路径覆盖:用最少的路径将原图覆盖,分为两种。
~1.1. 最小无重复路径覆盖。
~1.2. 最小链覆盖问题(最小有重复路径覆盖问题)
2. 链: 链是一个点集,在这个点集中任意两个元素 u v ,要么 u 能走到 v , 要么 v 能走到 u

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值