Berlekamp-Massey 算法（求数列的最短递推式）

最新推荐文章于 2021-12-31 10:51:40 发布

ez_lcw

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分类专栏：算法数学、数论文章标签：算法概率论线性代数

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本文介绍了一种通过增量法和失配调整求解数列最短递推式的技巧，涉及历史递推式、差值计算和递推式优化，适用于解决数列规律问题。关键步骤包括计算真实值与递推式预测值的差，根据失配调整新的递推公式，寻找最短的调整方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

用于求数列的最短递推式。

本文参考自 https://www.cnblogs.com/jz-597/p/14983564.html。

增量法，设 $R_i$ 表示第 $i$ 个历史递推式，当前为 $R_{cnt}$ 。

设 $\Delta$ 表示真实的 $a_i$ 与用 $R_{cnt}$ 求出的 $a_i$ 的差值，即 $\Delta=a_i-\sum_{j=1}^{|R_{cnt}|}a_{i-j}R_{cnt,j}$ 。

若 $\Delta=0$ ，则无事发生，跳过。
若 $\Delta\neq 0$ ，那么我们需要调整这个递推式使得它对 $a_i$ 也成立。

接下来看第二种情况怎么处理。

有一个想法是找到另一个递推式，使得这个递推式在算 $ai−1 \cdots,a_{i-1}$ 时取 $0$ ，在算 $a_i$ 时取 $\Delta$ 。

我们可以找到一个历史递推式 $R_{lst}$ ，设其失配位置为 $fail_{lst}$ ，失配时的差值为 $\Delta_{lst}$ （显然 $\Delta_{lst}\neq 0$ ）。

设 $d=\dfrac{\Delta}{\Delta_{lst}}$ ，那么我们可以找到这么一个递推式 $R'=\{0,0,\cdots,0,d,-d\cdot R_{lst,1},-d\cdot R_{lst,2},\cdots\}$ ，其中前面是 $i-fail_{lst}-1$ 个 $0$ 。

可以发现，使用这个递推式得到的 $a_i'=\sum_{j=1}^{|R'|}R'_{j}a_{i-j}=d(a_{fail_{lst}}-\sum_{j=1}^{|R_{lst}|}R_{lst,j}a_{fail_{lst}-j})=d\cdot \Delta_{lst}=\Delta$ 。

而对于任意 $(i-k)\in [|R'|+1,i-1]$ ， $a_{i-k}'=\sum_{j=1}^{|R'|}R'_j{a_{(i-k)-j}}=d(a_{fail_{lst}-k}-\sum_{j=1}^{|R_{lst}|}R_{lst,j}a_{(fail_{lst}-k)-j})=0$ 。

那么我们令 $R_{cnt+1}\gets R_{cnt}+R'$ 即可。

实质上是利用了以前的信息 $R_{lst}$ ：注意到失配前的差值都是 $0$ ，所以我们用差值来定义递推式。

那么我们怎么找到最短的 $R^{'}$ 呢？由于 $|R'|=i+\big(|R_{lst}|-fail_{lst}\big)$ ，所以我们直接找 $R_{lst}|-fail_{lst}$ 最小的就好了。

~~至于为什么求出来的递推式一定是最短的不会证。~~

【XSY3403】求数列的最短递推式代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 10010

using namespace std;

namespace modular
{
    const int mod=1000000007;
    inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
    inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
    inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
    inline void Add(int &x,int y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
}using namespace modular;

inline int poww(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

int n,a[N],delta[N],fail[N];

vector<int>r[N];

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    int cnt=0,lst=cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        delta[cnt]=0;
        for(int j=0;j<r[cnt].size();j++)
            Add(delta[cnt],mul(r[cnt][j],a[i-j-1]));
        delta[cnt]=dec(a[i],delta[cnt]);
        if(!delta[cnt]) continue;
        fail[cnt]=i;
        if(!cnt)
        {
            r[++cnt].resize(i);
            continue;
        }
        r[cnt+1]=r[cnt];
        r[cnt+1].resize(max((int)r[cnt+1].size(),i+(int)r[lst].size()-fail[lst]));
        int d=mul(delta[cnt],poww(delta[lst],mod-2));
        Add(r[cnt+1][i-fail[lst]-1],d);
        for(int j=0;j<r[lst].size();j++)
            Add(r[cnt+1][i-fail[lst]+j],mul(dec(0,d),r[lst][j]));
        if((int)r[cnt].size()-fail[cnt]<(int)r[lst].size()-fail[lst]) lst=cnt;
        cnt++;
    }
    printf("%d\n1000000006 ",(int)r[cnt].size());
    for(int i=0;i<r[cnt].size();i++)
        cout<<r[cnt][i]<<" \0"[i==r[cnt].size()-1];
    return 0;
}