C语言实现Berlekamp-Massey算法

Berlekamp-Massey算法是一种广泛应用于纠错编码中的迭代算法，我们在许多纠错编码中都能看见它的用途。BM算法最初是为了解决线性递推序列的问题而提出的，后来被广泛应用于纠错编码中，特别是用于解码如RS码（Reed-Solomon码）和BCH码等循环纠错码。这些编码方案在数据传输和存储系统中扮演着重要角色，能够纠正多个错误并检测潜在的错误，从而确保数据的完整性和可靠性。

BM算法基本原理

BM算法的基本思想是通过不断更新一个状态多项式（或称为误差位置多项式）来逼近实际的错误多项式。这个状态多项式用于表示接收到的码字与发送的码字之间的差异，从而帮助确定错误位的位置和值。

在迭代过程中，BM算法会利用已知的接收码字和生成多项式（对于RS码和BCH码等循环纠错码而言）来计算Syndrome多项式（即错误综合征），该多项式反映了接收码字与正确码字之间的差异。然后，算法会根据Syndrome多项式和当前的状态多项式来更新状态多项式，以便更好地逼近实际的错误多项式。总的来说，它是一种高效、灵活且鲁棒的纠错编码解码算法，在通信和数据存储等领域具有广泛的应用前景。

BM迭代的基本步骤

初始化：设定初始状态多项式和初始参数。

计算Syndrome多项式：利用接收到的码字和生成多项式来计算Syndrome多项式。

更新状态多项式：根据Syndrome多项式和当前的状态多项式来更新状态多项式。这一步骤是迭代过程的核心，它涉及复杂的代数运算和多项式除法。

检查收敛条件：判断状态多项式是否已经收敛（即是否已经逼近实际的错误多项式）。如果收敛，则迭代过程结束；否则，继续下一步迭代。

确定错误位置：一旦状态多项式收敛，就可以利用它来确定错误位的位置。这通常涉及对状态多项式进行因式分解或利用其他算法（如Chien搜索算法）来找到其根。

说到这，大家对这种迭代法求取状态多项式的方法也有了基本了解，下面直接上代码。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

void BM(int* s, int len)
{
	int m, n, d, lm, ln;
	int fn[5000], fm[5000], ffn[5000];
	int i, k;
	lm = ln = m = fm[0] = 0;
	fn[0] = 1;
	for (i = 1; i < len; i++) fn[i] = fm[i] = ffn[i] = 0;
	for (n = 0; n < len; n++)
	{
		d = 0;
		for (i = 0; i <= ln; i++) d ^= fn[i] & s[n - i];
		
		if (d == 1)
		{
			for (i = 0; i <= ln; i++) ffn[i] = fn[i];
			for (i = 0; i <= lm; i++) fn[i + n - m] ^= fm[i];
			k = n + 1 - ln;
			if (k > ln)
			{
				lm = ln; m = n;
				for (i = 0; i <= ln; i++) fm[i] = ffn[i];
				ln = k;
			}
		}
	}
	printf("  %2d:  ", ln);
	for (i = 0; i < len; i++) if (fn[i] == 1)  printf("%2d ", ln - i);
	printf("\n");
}

void main()
{
	int i, k;
	char str[100] = "10001101100110101110";
	int a[100];
	k = strlen(str);
	for (i = 0; i < k; i++)
	{
		a[i] = str[i] - '0';
	}
	BM(a, k);
}

学习过密码学的筒子们一定知道，对于线性反馈移位寄存器LFSR，它通过初态生产出一个01流后，就可以进行加密功能了。那么作为分析者，我们可以用BM算法来恢复比特流背后的LFSR作用多项式，从而达成恢复LFSR寄存器的目的。所以说，不要小看了这个BM迭代算法，它除了在编码学方面用于纠错搜索根等以外，在密码学领域也有它的用处。