【XSY2777】特征多项式

给一个没有特殊性质的矩阵 $A$，求其特征多项式 $|\lambda I-A|$。

定义：若存在一可逆矩阵 $P$，使得 $B=PA{P}^{-1}$，那么称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A\sim B$。

相似矩阵有很多特殊性质，比如相似矩阵的特征多项式相同。

证明：

首先有 $\lambda I=\lambda PI{P}^{-1}=P\lambda I{P}^{-1}$。
$$\begin{array}{rl}\det (B)& =|\lambda I-B|\\ & =|\lambda I-PA{P}^{-1}|\\ & =|P\lambda I{P}^{-1}-PA{P}^{-1}|\\ & =|P(\lambda I-A)P^{-1}|\\ & =|P|\times |\lambda I-A|\times |P^{-1}|\\ & =|P\times P^{-1}|\times \det (A)=\det (A)\end{array}$$

那么我们对 $A$ 先进行行变换，记这个行变换对应的初等矩阵为 $P$，那么我们的操作就是对 $A$ 左乘 $P$。

然后我们再对 $PA$ 右乘 $P^{-1}$，对应的操作是列变换，然后就能得到 $B=PA{P}^{-1}$，显然它与 $A$ 相似。

具体地说：

• 若交换矩阵 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行，对应的是交换矩阵 $A$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列。
• 若将矩阵 $A$ 的第 $i$ 行乘上常数 $k$，对应的是将矩阵 $A$ 的第 $i$ 列乘上常数 $-k$。
• 若将矩阵 $A$ 的第 $i$ 行加上 $k$ 乘第 $j$ 行，对应的是将矩阵 $A$ 的第 $j$ 列加上 $-k$ 乘第 $i$ 列。

推导方式是通过行变换的内容得到左乘的初等矩阵 $P$，再得到 $P^{-1}$，再得到右乘 $P^{-1}$ 的对应的列变换。

但我们不能通过这种方式把 $A$ 变成上三角矩阵，因为我们在消掉 $(j,i)$ 这个位置的时候，需要让 $A$ 的第 $j$ 行加上 $k$ 乘第 $i$ 行，此时 $(j,i)$ 变成了 $0$。但对应地，我们需要将矩阵 $A$ 的第 $i$ 列加上 $-k$ 乘第 $j$ 列，这样 $(j,i)$ 又会被受到影响，可能不是 $0$ 了。

所以我们在消掉 $(j,i)$ 这个位置的时候，用 $A$ 的第 $i+1$ 行与第 $j$ 行做行变换来先把 $(j,i)$ 消掉，这样对应的是 $A$ 的第 $i+1$ 列与第 $j$ 列做列变换，就不会影响到已经消掉的 $(j,i)$ 了。

那么最后得到的就不是上三角矩阵，而是上海森堡矩阵（断句：上/海森堡矩阵）：
$$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2,n}\\ 0& a_{3,2}& a_{3,3}& \cdots & a_{3,n-1}& a_{3,n}\\ 0& 0& a_{4,3}& \cdots & a_{4,n-1}& a_{4,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{n,n-1}& a_{n,n}\end{array}\right]$$
那么 $\lambda I-A$ 为：
$$\left[\begin{array}{cccccc}\lambda -a_{1,1}& -a_{1,2}& -a_{1,3}& \cdots & -a_{1,n-1}& -a_{1,n}\\ -a_{2,1}& \lambda -a_{2,2}& -a_{2,3}& \cdots & -a_{2,n-1}& -a_{2,n}\\ 0& -a_{3,2}& \lambda -a_{3,3}& \cdots & -a_{3,n-1}& -a_{3,n}\\ 0& 0& -a_{4,3}& \cdots & -a_{4,n-1}& -a_{4,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & -a_{n,n-1}& \lambda -a_{n,n}\end{array}\right]$$
设 $f_i$ 表示右下角 $i\times i$ 大小矩阵的行列式，然后就是分类讨论递推了，类似递推方法可以见这道题。

而且递推时只涉及多项式加法和多次乘一次的多项式乘法，于是直接暴力存储和运算多项式即可。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 510

using namespace std;

namespace modular
{
	const int mod=998244353;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;

inline int poww(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

typedef vector<int> poly;

poly add(poly &a,poly &b,int d)
{
	poly c;
	int sa=a.size(),sb=b.size();
	for(int i=0;i<min(sa,sb);i++)
		c.push_back(add(a[i],mul(d,b[i])));
	if(sa>sb)
	{
		for(int i=sb;i<sa;i++)
			c.push_back(a[i]);
	}
	else
	{
		for(int i=sa;i<sb;i++)
			c.push_back(mul(d,b[i]));
	}
	return c;
}

poly mul(poly &a,poly &b)
{
	int sa=a.size(),sb=b.size();
	poly c(sa+sb-1);
	for(int i=0;i<sa;i++)
		for(int j=0;j<sb;j++)
			c[i+j]=add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
	return c;
}

int n,a[N][N];
poly f[N];

void Gauss()
{
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int p=i+1;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(a[j][i]>a[p][i]) p=j;
		if(p!=i+1)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
				swap(a[i+1][j],a[p][j]);
			for(int j=1;j<=n;j++)
				swap(a[j][i+1],a[j][p]);
		}
		for(int j=i+2;j<=n;j++)
		{
			int div=mul(a[j][i],poww(a[i+1][i],mod-2));
			for(int k=1;k<=n;k++)
				a[j][k]=dec(a[j][k],mul(a[i+1][k],div));
			for(int k=1;k<=n;k++)
				a[k][i+1]=add(a[k][i+1],mul(a[k][j],div));
		}
	}
}

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=read();
	Gauss();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			a[i][j]=dec(0,a[i][j]);
	f[n+1].push_back(1);
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		poly tmp;
		tmp.push_back(a[i][i]);
		tmp.push_back(1);
		f[i]=mul(tmp,f[i+1]);
		int now=a[i+1][i],c=dec(0,1);
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			f[i]=add(f[i],f[j+1],mul(mul(c,now),a[i][j]));
			now=mul(now,a[j+1][j]);
			c=dec(0,c);
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)
		printf("%d ",f[1][i]);
	return 0;
}