21、投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

1. 算法迭代与求解方法

在某些算法的每次迭代中，需要求解近似函数系数的非线性方程组。使用牛顿法数值求解该方程组时，对近似函数系数的初始值很敏感。为了解决这个问题，采用了Schmedders（1999）的同伦方法来为牛顿法找到合理的初始值。同伦方法会在每个投资者的最优条件中引入一个边际惩罚项，当同伦参数设为零时，该惩罚项消失。这有助于缓解均衡解可能出现的不连续性问题。在运行几次同伦程序后，再切换回牛顿法以加快收敛到解的速度。当投资者决策的最优条件中的相对误差在给定的容差范围内时，程序停止。

2. 异质代理模型求解步骤

求解具有不完全资产市场的异质代理模型应遵循与代表性代理模型相同的五个步骤。截至目前，尚未有一个异质代理模型完成了所有五个步骤，特别是跳过了步骤3。通过对特定示例的均衡存在性和唯一性进行详细分析，有助于更好地理解模型的均衡。在这些特定示例下，步骤3更有可能成功。或者，可以找到足够的关于均衡的信息，从而确定近似误差的边界条件。

3. 连续时间投资组合决策问题

3.1 一般优化问题

在连续时间随机环境下，投资者的问题会导致非线性微分方程，而不是线性微分方程。初始值问题的产生是因为投资者希望在某个终端时间达到最优财富量，此时时间是反向的。目前，只有导致线性微分方程的情况得到了解决，非线性情况进展甚微。利用摄动方法可以近似求解非线性偏微分方程，但这种近似的数学性质尚未确定。

从Chow（1997）的一般优化问题开始，在连续时间下，离散时间问题（1）受条件（2）约束变为：
[V (x(t)) = \max_{u(t)} E_t \left