22、投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

1. 投资者初始值问题的求解挑战

在处理投资者的初始值问题（IVP）时，可采用如Bender和Orszag（1999）提出的方法，将非线性偏微分方程（PDE）分解为无穷多个线性PDE，然后递归求解。在这些线性PDE中，原非线性项会被替换为前序线性PDE解的独立函数，而原IVP的解就是所有这些线性PDE解的总和。然而，存在两个数学问题：一是不清楚这个总和是否收敛；二是不确定它是否收敛到原IVP的真实解。此外，还需检查条件（119）是否成立，以确保（115）、（116）和（120）中关于μ的积分存在。所以，在完全刻画投资者的IVP之前，仍有大量工作要做。

2. 连续时间资产定价

与离散时间资产定价模型类似，连续时间资产的均衡价格通过协调所有投资者的最优行为来确定，以实现资产供需平衡和经济资源的有效分配。为简化问题，Cox和Huang（1989）等人采用鞅方法来描述资产定价。定价核或随机贴现因子$ \Pi_s $是一个随机过程，对于在每个时刻$s \geq t$有收益$x_s$的证券，其价值$P_t$由下式给出：
[P_t = E_t\left[\int_{t}^{T} \frac{\Pi_s}{\Pi_t} x_s ds\right]]
其中，$T$为证券的到期日。当且仅当市场完备且无套利机会时，正的定价核是唯一的；若市场不完备，则定价核不唯一。

以Duffie和Epstein的随机微分效用模型中的最优投资问题（104） - （111）为例，其中每期回报是聚合器（105），Duffie和Epstein（1992b）以及Duffie和Skiadas（1994）证明定价核为：
[\Pi_t =