18、投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

在金融领域，投资组合决策和资产定价是两个核心问题。本文将深入探讨这两个问题，介绍相关的理论和方法，并分析不同方法的优缺点。

1. 二阶微分方程与资产定价

在处理二阶微分方程相关的资产定价问题时，柯西 - 柯瓦列夫斯卡娅定理发挥着重要作用。该定理可用于证明初值问题存在唯一解析解，估算收敛半径，并确定近似误差的统一上界。

以坎贝尔和科克伦（1999）的一维资产定价问题为例，它可以得到精确的多项式近似。相较于离散时间模型，连续时间模型有两个优势：一是微分方程依赖局部性质而非积分方程所需的全局性质；二是连续时间下计算泰勒多项式近似系数的过程是递归的，而离散时间下需要同时确定。

柯西 - 柯瓦列夫斯卡娅定理同样适用于高维资产定价模型，如瓦赫特（2002a）的模型，它推广了坎贝尔和科克伦（1999）的模型。此外，这些问题解的泰勒多项式近似可以快速计算，但还需要进一步研究来界定近似误差。

在具有随机微分效用的资产定价问题中，我们还探讨了初始条件的作用。当投资者具有无限投资期限时，我们说明了如何引入初始条件，并解释了坎贝尔等人（2004）的近似为何是原偏微分方程解的一阶扰动，从而可以用该近似来估计偏微分方程的初始条件。给定初始条件后，柯西 - 柯瓦列夫斯卡娅定理可用于快速准确地解决资产定价问题。最后，我们讨论了如何将投资者问题或资产定价问题的偏微分方程表示为初边值问题。

2. 离散时间投资组合决策

2.1 投资组合决策问题的一般形式

所有投资组合决策问题都可以表示为以下形式：设 $u_t$ 是一个 $q$ 维控制变量向量，例如消费和投资于股票的金额；