19、投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

投资组合决策与资产定价问题的建模与求解

1. 随机折现因子与积分方程

在资产定价问题中，随机折现因子起着关键作用。这里，对于连续随机变量 $\eta$，其概率密度函数为 $f$，随机折现因子可表示为：
$m′ = β \exp {−γ [μ + φ(x −μ) + η]}$
其中，$′$ 表示未来值。此积分方程相较于投资者问题中的积分方程更为简单，因为它关于未知的价格 - 股息函数 $p$ 是线性的。

2. 解析方法求解资产定价问题

2.1 解析方法概述

解析方法可用于解决资产定价问题，其优势在于能确定在特定区间内解是否可用多项式近似，还能估算近似误差。下面以 Mehra 和 Prescott 模型为例，介绍解析方法的步骤。

2.2 解析方法步骤

2.2.1 简化积分方程并确定解空间

使用变量替换 $y = μ + φ(x −μ) + η$ 重写积分方程：
$p(x) = β \int_{R} \exp[(1 −γ )y][1 + p(y)] f (y −μ −φ(x −μ)) dy$
若采用均值为 0、标准差为 $\sigma$ 的高斯分布，积分方程变为：
$p(x) = K_0e^{K_1x} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left{-\frac{1}{2\sigma^2} [y -\psi(x)]^2 \right} [1 + p(y)] dy$
其中，$K_0 = β \exp \left{\mu(1 −φ)(1 −γ ) + (\s