18、离散时间下的投资组合决策与资产定价问题解析

离散时间下的投资组合决策与资产定价问题解析

在金融领域，投资组合决策和资产定价是至关重要的问题。本文将深入探讨这些问题，包括连续时间模型中的柯西 - 柯瓦列夫斯基定理应用、离散时间下的投资组合决策以及资产定价等内容。

1. 连续时间模型中的柯西 - 柯瓦列夫斯基定理应用

对于二阶微分方程的初值问题，柯西 - 柯瓦列夫斯基定理具有重要作用。它可以证明初值问题存在唯一的解析解，估算收敛半径，并确定近似误差的统一上界。

以坎贝尔和科克伦（1999）的一维资产定价问题为例，该问题可以得到精确的多项式近似。与离散时间模型相比，连续时间模型有两个优点：
- 微分方程依赖于局部性质，而非积分方程所需的全局性质。
- 计算泰勒多项式近似系数的过程在连续时间中是递归的，而在离散时间中需要同时确定。

柯西 - 柯瓦列夫斯基定理也适用于更高维度的资产定价模型，如瓦赫特（2002a）的模型。此外，这些问题解的泰勒多项式近似可以快速计算，但还需要进一步研究来界定近似误差。

在具有随机微分效用的资产定价问题中，初始条件也起着关键作用。当投资者有无限投资期限时，我们可以引入初始条件。坎贝尔等人（2004）的近似是原偏微分方程解的一阶扰动，可用于估计偏微分方程的初始条件。给定初始条件，柯西 - 柯瓦列夫斯基定理可以快速准确地解决资产定价问题。最后，我们还讨论了如何将投资者问题或资产定价问题的偏微分方程表示为初边值问题。

2. 离散时间投资组合决策

所有投资组合决策问题都可以表示为以下形式：
设 $u_t$ 是一个 $q$ 维控制变量向量，例如消费和投资于股票的金额；$x_t$ 是一个 $p$ 维状态