19、投资组合决策与资产定价问题的公式化与求解

投资组合决策与资产定价问题的公式化与求解

在资产定价领域，如何准确地制定和解决投资组合决策问题是关键。本文将介绍相关的随机贴现因子、解析方法以及更复杂模型的求解过程。

随机贴现因子与积分方程

随机贴现因子在资产定价中起着重要作用。在某些情况下，随机贴现因子的表达式为：
[m′ = β \exp {−γ [μ + φ(x −μ) + η]}]
其中，(′) 表示未来值。对应的积分方程为：
[p(x) = β \int_{R} \exp[(1 -γ )y][1 + p(y)] f (y -μ -φ(x -μ)) dy]
当使用高斯分布（均值为 0，标准差为 (\sigma)）时，积分方程可进一步写为：
[p(x) = K_0e^{K_1x} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left{ -\frac{1}{2\sigma^2} [y -ψ(x)]^2 \right} [1 + p(y)] dy]
这里，(K_0 = β \exp \left{ μ(1 -φ)(1 -γ ) + \frac{\sigma^2}{2}(\gamma -1)^2 \right})，(K_1 = (1 -γ )φ)，(\psi(x) = μ(1 -φ) + φx + \sigma^2(1 -γ ))。

解析方法求解资产定价问题

解析方法为解决资产定价问题提供了一种有效的途径，下面以 Mehra 和 Prescott 模型为例，详细介绍其步骤：
1. 简化积分方程并确定解空间
- 进行变量替