20、资产定价问题的建模与求解

资产定价问题的建模与求解

解析方法在复杂模型中的应用

在某些资产定价模型中，解析方法可以发挥重要作用。例如，对于特定模型，当(x_0 = 0)时，在(r_c \approx 0.49)附近，该值接近灵敏度函数变得不可微的点((1 - \overline{S}^2)/2)，这表明解析方法可应用于更复杂的模型。

当选择(r)满足(0 < r < r_c)这一额外条件时，(Q(x))的泰勒级数在(-r \leq x \leq r)收敛于(Q(x))，(Q(x))满足以下方程：
[
Q(x) =
\begin{cases}
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n & \text{if } -r \leq x \leq r \
\sum_{n=0}^{\infty} a_n r^n & \text{if } x > r \
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n r^n & \text{if } x < -r
\end{cases}
]
相关研究推导出了求解上述方程中系数(a_n)的线性方程组，这为设计高效的计算机程序提供了必要的代数运算基础。

对于Campbell和Cochrane模型，如同Mehra和Prescott模型一样，可完成最后一步。此时，方程(45)中的上界(B_r)取决于变换后的价格 - 股息函数(65)的上确界范数和收敛半径。因此，解析方法能够系统地近似求解像Campbell和Cochrane模型这样复杂的资产定价模型。

不过，在求解过程中也存在一些问题。例如，步骤2表明，盈余消