17、图论中的聚类、矩阵与最小生成树

图论中的聚类、矩阵与最小生成树

1. 强竞赛图中的循环定理

强竞赛图是图论中的一个重要概念。对于一个强竞赛图 (G = (V, E))，其中 (|V| = p)，有如下定理：
- 定理 ：每一个强竞赛图 (G) 都存在长度为 (n) 的循环，其中 (3 \leq n \leq p)。
- 证明思路 ：采用循环长度的归纳法。首先，强竞赛图必然存在长度为 3 的循环。假设 (G) 中存在长度为 (n)（(n < p)）的循环 (C = (v_1, v_2, \cdots, v_n, v_1))，此时需要考虑两种情况：
- 情况一 ：存在一个不在 (C) 中的顶点 (u)，使得对于某些 (v, w \in C)，有 ((u, v) \in E) 且 ((w, u) \in E)。不妨设 ((v_1, u) \in E)，设 (v_i) 是从 (v_1) 开始在 (C) 上第一个满足 ((u, v_i) \in E) 的顶点，那么 ((v_{i - 1}, u) \in E)，序列 ((v_1, \cdots, v_{i - 1}, u, v_i, \cdots, v_n, v_1)) 就是一个长度为 (n + 1) 的循环。
- 情况二 ：不存在具有上述性质的顶点 (u)。此时，不在 (C) 中的顶点集 (V) 被划分为两个集合 (U) 和 (W)，其中 (U) 是与 (C) 中每个顶点相邻的顶点集，(W) 是与 (C) 中每个顶点都有邻接关系的顶点集。由于 (G) 是强竞赛图，存在 (u \in U) 和 (w \in W) 使