C++ 解决一个简单的图论问题 —— 最小生成树（以 Prim 算法为例）

使用 C++ 解决一个简单的图论问题 —— 最小生成树（以 Prim 算法为例），并且使用 Graphviz 库来生成结果图。

在图论中，“边权之和最小” 是最小生成树（MST）的核心目标，其含义和背景可以从以下几个方面解释：

一、基础定义：什么是 “边权之和”？

• 边权：图中每条边的权重（Weight），可以代表实际问题中的成本、距离、时间、容量等量化指标。
• 边权之和：对于一个子图（如生成树），将其中所有边的权重相加得到的总和。

二、“最小” 的具体含义：为什么要让边权之和最小？

在 无向连通图 中，生成树的定义是：

• 包含图中 所有顶点（必须覆盖所有节点）。
• 是一棵 树（即无环，且边数为 \(|V| - 1\)，V 为顶点数）。

最小生成树（MST） 是所有可能的生成树中，边权之和最小的那一棵。 例如，假设有一个包含 4 个顶点的图，可能有多种生成树（如下图示），其中边权和最小的即为 MST：

   顶点A ─(2)─ 顶点B       顶点A ─(1)─ 顶点C
           │(3)             │(1)
           顶点C ─(1)─ 顶点D   顶点B ─(3)─ 顶点D
   边权和：2+3+1=6          边权和：1+1+3=5（MST）

三、数学表达与约束条件

设图 \(G = (V, E)\)，其中顶点集合 \(V = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}\)，边集合 \(E = \{e_1, e_2, \dots, e_m\}\)，每条边 \(e_i\) 的权重为 \(w(e_i)\)。 生成树 \(T = (V, E_T)\) 需满足：

1. \(E_T \subseteq E\)，且 \(|E_T| = |V| - 1\)（无环，连通所有顶点）。
2. 目标是最小化 \(\sum_{e \in E_T} w(e)\)，即：\(\min \sum_{e \in E_T} w(e)\)

四、实际意义：为什么需要 “边权之和最小”？

“边权之和最小” 的应用场景通常与 优化问题 相关，例如：

1. 网络建设：
   • 若边权代表铺设电缆的成本，最小生成树表示用最小成本连接所有节点的方案。
2. 电路设计：
   • 边权代表导线长度，MST 可最小化电路中导线的总长度。
3. 物流规划：
   • 边权代表运输距离，MST 可找到连接所有地点的最短路径网络（无环，避免冗余）。

五、与 “生成树” 的本质区别

• 生成树：只要满足 “包含所有顶点且无环” 即可，不考虑边权和。
• 最小生成树：在所有生成树中，额外要求边权和