P3205 [HNOI2010]合唱队 题解

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简要题意：

有长度为 $n$ 的序列 $a$ 和一个空序列 $b$. 下面进行操作：

• $a_1$ 直接进入 $b$ 序列中。
• 对于 $a_{i=2}^n$ 的每个 $a_i$，若 $a_i>a_{i+1}$，则将 $a_i$ 插入 $b$ 序列末尾；否则插入 $b$ 序列开头。

每个 $a$ 唯一对应一个 $b$，但是每个 $b$ 并不唯一对应一个 $a$.现在已知 $b$ 序列，试求满足条件的 $a$ 序列的个数。答案对 $19260817$ 取模。

$n\le 1000,a_i\le 2000$.

考虑区间 $\text{dp}$.

用 $f_{i,j}$ 表示 $[i,j]$ 区间的答案，但是我们需要知道 前一个元素的值，因此可以令 $f_{i,j,0}$ 表示 $[i,j]$ 区间，当前最后一次操作在 $i$；$f_{i,j,1}$ 则最后一次操作在 $j$.

不难得出：

$$\{\begin{array}{l}{f}_{i,j,0}=f_{i,j,1}=1,i=j\\ f_{i,j,0}=f_{i+1,j,0}\ast (a_i<a_{i+1})+f_{i+1,j,1}\ast (a_i<a_j),i\ne j\\ f_{i,j,1}=f_{i,j-1,0}\ast (a_j>a_i)+f_{i,j-1,1}\ast (a_j>a_{j-1}),i\ne j\end{array}$$

其中 $(A)$ 表示 $A$ 成立则为 $1$，否则为 $0$，可以免去条件判断。

本质实在考虑当前从 $i+1\to i$ 还是 $j\leftrightarrow i$ 还是 $j-1\to j$，不难发现。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n^2)$.

实际得分：$100pts$.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,a[1001];
int dp[1001][1001][2]; //不小心写成了 dp，见谅

const int p=19650827;

inline int read(){char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x;}

int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i][0]=1; //初始化
	for(int len=2;len<=n;len++)
	for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
		int j=i+len-1;
		dp[i][j][0]=(dp[i+1][j][0]*(a[i]<a[i+1])+dp[i+1][j][1]*(a[i]<a[j]))%p;
		dp[i][j][1]=(dp[i][j-1][0]*(a[j]>a[i])+dp[i][j-1][1]*(a[j]>a[j-1]))%p;
	} //区间 dp 套路
	printf("%d\n",(dp[1][n][0]+dp[1][n][1])%p); //注意取模
	return 0;
}