P1379 八数码难题 题解

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简要题意：

给定一个 $3\times 3$ 的矩阵，每次可以把空格旁边（四方向）的一个位置移到空格上。求到目标状态的最小步数。

前置知识：

• 深度优先搜索（$\text{dfs}$）.

将这题作为 宽度优先搜索（$\text{bfs}$） 的模板题讲解！

首先，众所周知 $\text{dfs}$ 的搜索树类似于这样：

其中，每个矩形都是一个状态，上面的数字是 时间戳（即搜索编号） ，红色的表示往下搜索，绿色的表示往上回溯。

$\text{dfs}$ 大致分为 $3$ 步：

1. 从当前状态开始，依次搜索子状态，进入第 $2$ 步。

2. 如果当前状态 所有子状态都搜完了 或者 没有子状态，那么结束当前搜索，回溯至第 $1$ 步。

3. 找到答案即立刻一层层回溯结束；否则搜完所有状态返回无解。

你会发现，对于本题，如果你用 $\text{dfs}$，你不知道深度是多少，很有可能超时。（当然 记忆化 可以加快，但还是容易超时）因为 $\text{dfs}$ 是 盲目搜索，直到当前状态搜完为止。那么，极有可能把所有状态都搜一遍。（即 $9!=362880$）这是极其危险的！

下面引出一个概念：$\text{bfs}$.

求最小步数 / 最优解的情况下，$\text{bfs}$ 一般比 $\text{dfs}$ 要来的优。

先给出一个搜索状态图：

你会发现，$\text{bfs}$ 的搜索是一层层搜的，即宽度优先的，并且没有任何回溯的过程。

而且，$\text{bfs}$ 存在性质：

1. 第一次到达的一定是最优的。（这是革命的本钱，没有它 $\text{bfs}$ 就和 $\text{dfs}$ 降为一样效率了）

2. 一个状态保证只搜一次。（因为第一次是最优的，后面来的都是劣的，所以直接 开哈希剪枝。）

那么你会说：我们怎么实现呢？

用 $\text{queue}$ 队列来实现，步骤如下：

1. 将开始状态入队。

2. 取出队首作为当前状态，把所有 当前状态能扩展出去的状态 都入队，并且做好哈希。然后 当前状态出队。

3. 找到答案立刻停止搜索（因为性质