乘法逆元

许多部分材料取自guhaiteng大佬的Blog

定义

群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a‘,具有性质aa’=a’a=e，其中e为群的单位元。

用数论语言来讲，即对于同余方程$aa'\equiv 1(mod\ m)$，称$a'$为$a$在模$m$下的逆元。其中$a'\equiv a^{-1}(mod\ m)$

解法

可以用费马小定理（欧拉定理）或者扩展欧几里得算法进行求解。

扩展欧几里得

给定$m$，求$a$的逆。即相当于解同余方程$ax\equiv 1(mod\ m)$。
而这个方程可以转化为$ax+my=1$。
方程有解当且仅当$(a,m)=1$，即$ax+my=(a,m)$，此时就可以用扩欧进行求解了。
然后再$mod\ m$把解调至0~m-1的范围内。

void exgcd(int a,int &x,int b,int &y){
    if (!b){
        x=1; y=0; return;
    }
    exgcd(b,x,a%b,y);
    int t=x; x=y; y=t-a/b*y;//最后的x就是解了
}

费马小定理&欧拉定理

当m为素数时，满足条件$a^{m-1}\equiv 1(mod\ m)$
那么$aa^{m-2}\equiv 1(mod\ m)$
所以$a$的逆元就是$a^{m-2}$ 。

当$m$不为素数时，考虑欧拉定理
$a^{\varphi(m)}\equiv1(mod\ m)$
同上，$a^{\varphi(m)-1}$即为$a$的逆元。

数大的时候快速幂求解即可。
验证的话乘起来模m看看是不是1。

快速幂板子就不打了我好懒啊。。。求个欧拉函数后直接快速幂

一般求法

对于一般同余方程都有如下结论：

$\frac{a}{b}\ mod\ m=\frac{(a\ mod\ mb)}{b}(b\mid a)$

下面我们进行推导：
设$\frac{a}{b}\ mod\ m=x$
则
$\frac{a}{b}=km+x$
$a=kbm+bx$
$a\ mod\ bm=bx$
$\frac{a\ mod\ bm}{b}=x=\frac{a}{b}\ mod\ m$

推完了