中国剩余定理

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孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

解法

用现在的语言说，中国剩余定理是这样的：
给出一元线性方程组：

$x\equiv a_1(mod\ m_1)$
$x\equiv a_2(mod\ m_2)$
······
$x\equiv a_n(mod\ m_3)$

其中m两两互质，此时x有解。

设$M=\prod_{i=1}^nm_i$,$M_i=M/m_i$,$M_it_i\equiv 1(mod\ m_i)$
则方程组的通解形式即为：

$x=\sum_{i=1}^{n}a_iM_it_i$

在模M意义下只有一个解：

$x=(\sum_{i=1}^{n}a_iM_it_i)mod\ M$

证明

由上文假设易得$(M_i,m_i)=1$

则$\exists\ t_i$，使得$M_it_i\equiv 1(mod\ m_i)$

对$a_iM_it_i$进行分析，可得

$a_it_iM_i\equiv a_i(mod\ m_i)$

则$x=a_iM_it_i+\sum_{j\not=i}a_jM_jt_j=a_i+\sum_{j\not=i}0=a_i$

$\therefore x$即为方程组的一个解

另外，假设$x_1,x_2$均为方程组的解，那么

$\forall\ i\in\{1,2,\cdots,n\}$，$x_1-x_2\equiv 0(mod\ m_i)$

而m两两互质，说明$(x_1-x_2)\mid M$

$\therefore$方程组的解两两之间必然相差M的整数倍。

$\therefore$方程组的所有解的集合即为$\{kM+\sum_{i=1}^{n}a_it_iM_i,k\in Z\}$