洛谷P1040 加分二叉树（NOIP2003）

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#树形dp #洛谷

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洛谷

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DP---树形DP

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本文介绍了一种树形DP算法，通过三维枚举方法求解树上节点的最大得分问题。使用了f[i][j]来记录从节点i到j的最大得分，并通过转移方程实现了最优解的递推。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

树形DP？？？

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简单的树形DP。
$f[i][j]$ 表示从 $i$ 到 $j$ 这段节点成为一棵树的最大得分， $root[i][j]$ 表示 $i$ 到 $j$ 这段节点取到最大得分时的根节点是谁（中序遍历时要用到）。

因为节点个数足够小，我们可以三维枚举 $[l,r]$ 及根节点。
转移方程：

for (int k=2;k<=n;k++)
    for (int i=1;i<=n-k+1;i++){
        int x=i+k-1;
        for (int j=i;j<=x;j++)
            if (f[i][x]<f[i][j-1]*f[j+1][x]+w[j]){//取最大值
                rt[i][x]=j;
                f[i][x]=f[i][j-1]*f[j+1][x]+w[j];
            }
    }

注意刚开始的值全给1，不然乘的时候就······

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 30
using namespace std;
int n;
int f[MAXN+5][MAXN+5],rt[MAXN+5][MAXN+5],w[MAXN+5];
inline char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF;
    return *l++;
}
int _read(){//读优（虽然没什么用）
    int num=0; char ch=readc();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=readc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') { num=num*10+ch-48; ch=readc(); }
    return num;
}
void dfs(int x,int y){//中序遍历
    if (x<=y){
        printf("%d ",rt[x][y]);
        dfs(x,rt[x][y]-1);
        dfs(rt[x][y]+1,y);
    }
}
int main(){
    n=_read();
    for (int i=0;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=n;j++)
            f[i][j]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        w[i]=_read();
        rt[i][i]=i;
        f[i][i]=w[i];
    }
    for (int k=2;k<=n;k++)
        for (int i=1;i<=n-k+1;i++){
            int x=i+k-1;
            for (int j=i;j<=x;j++)
                if (f[i][x]<f[i][j-1]*f[j+1][x]+w[j]){
                    rt[i][x]=j;
                    f[i][x]=f[i][j-1]*f[j+1][x]+w[j];
                }
        }
    printf("%d\n",f[1][n]);
    dfs(1,n);
    return 0;
}