【BZOJ4002】【JLOI2015】有意义的字符串推公式+矩阵乘法

最新推荐文章于 2021-05-24 14:02:39 发布

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#BZOJ4002 #JLOI2015 #有意义的字符串 #推公式 #矩阵乘法

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本文详细介绍了如何通过优化矩阵运算和公式推导，实现复杂数学问题的高效代码解决方案。利用预处理技巧和矩阵快速幂算法，解决了矩阵乘法和特定公式应用中的效率瓶颈。代码示例涵盖了从基本概念到实际应用的全过程，包括矩阵初始化、乘法运算、幂次计算等关键步骤，并提供了具体案例以验证算法的有效性和准确性。

链接：

#include <stdio.h>
int main()
{
    puts("转载请注明出处[vmurder]谢谢");
    puts("网址：blog.youkuaiyun.com/vmurder/article/details/45174449");
}

题解：

公式推导部分：见大爷博客http://blog.youkuaiyun.com/popoqqq/article/details/45148309

公式：

$f_i=b \times f_{i-1}+\frac {~(d-b^2)} {4}a_{i-2}$

$f_0=2,f_1=b$

矩阵：
$\begin{bmatrix} f_i & f_{i-1} \\\ 0 & 0 \\\ \end{bmatrix} =\ \begin{bmatrix} f_{i-1} & f_{i-2} \\\ 0 & 0 \\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b & 1 \\\ d-b^2 & 0 \\\ \end{bmatrix}$

注意：

数据中存在 $n==0$ 的情况

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define mod 7528443412579576937ull
#define T 2
using namespace std;
unsigned long long b,d,n;
unsigned long long qmul(unsigned long long x,unsigned long long p)
{
    unsigned long long ret=0;
    while(p)
    {
        if(p&1)ret=(ret+x)%mod;
        x=(x<<1)%mod,p>>=1;
    }
    return ret;
}
struct Mrx
{
    unsigned long long x[T][T];
}Ini,Trs,Std,E;
Mrx mul(Mrx a,Mrx b)
{
    Mrx c=E;
    int i,j,k;
    for(i=0;i<T;i++)for(j=0;j<T;j++)for(k=0;k<T;k++)
        c.x[i][j]=(c.x[i][j]+qmul(a.x[i][k],b.x[k][j]))%mod;
    return c;
}
Mrx power(Mrx x,unsigned long long p)
{
    Mrx ret=Std;
    while(p)
    {
        if(p&1)ret=mul(ret,x);
        x=mul(x,x),p>>=1;
    }
    return ret;
}
/*
    a[i]=b*a[i-1]+(d-b*b)/4*a[i-2]
    a[0]=2,a[1]=b
*/
int main()
{
    freopen("jxamfe.in","r",stdin);
    freopen("jxamfe.out","w",stdout);
    Std.x[0][0]=Std.x[1][1]=1;
    cin>>b>>d>>n;
    Ini.x[0][0]=b,Ini.x[0][1]=2;
    Trs.x[0][0]=b,Trs.x[0][1]=1;
    Trs.x[1][0]=d-b*b>>2;
    Trs=power(Trs,n);
    Ini=mul(Ini,Trs);
    cout<<(Ini.x[0][1]-(d!=b*b&&~n&1))%mod<<endl;
    return 0;
}