JLOI2015有意义的字符串

最新推荐文章于 2021-06-18 16:22:35 发布

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本文介绍了一道JLOI竞赛题目“有意义的字符串”的解答过程。通过建立特征方程和递推公式，利用矩阵快速幂求解特定形式的序列问题。文章详细展示了如何根据给定条件推导出具体的数学模型。

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JLOI有意义的字符串

求 $x = \frac{b+\sqrt{d}}{2}mod7528443412579576937$

题解

运用特征方程求解，设其通项公式为 $f_n=pS^n+qT^n$ ，其中 $S=\frac{b+\sqrt{d}}{2}$ ,B为A的共轭式： $B=\frac{b-\sqrt{d}}{2}$ ，那么将 $f_0,f_1$ 代入到通项公式中得到 $f_0=1+q;$ $f_1=S+qT=\frac{b+\sqrt{d}}{2}+q\frac{b-\sqrt{d}}{2}=\frac{(1+q)b}{2}+\frac{(1-q)\sqrt{d}}{2};$ 这样的话我们就可以令 $q=1$ 那么这样的 $f_0=2,f_1=b$ ；根据特征方程 $x^2-Ax-B=0$ ，求得A,B的值(其中S,T是该方程的解)，解得 $x_1=b,x_2=\frac{d-b^2}{4}$ ;那么递推公式就可以求得出来 $f_n=bf_{n-1}+\frac{d-b^2}{4}f_{n-2}$ ，我们要求的解即为 $S^n=f_n-T^n$ 其中 $1\leq T^n \leq 0$
$T^n$ 的取值和n的奇偶性有关，偶数则取1；

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>

#define Rep(i,s,t)  for(int i=s;i<=t;i++)

using namespace std;

typedef unsigned long long LL;

const LL MOD=7528443412579576937;

struct Mat {
    LL m[2][2];
};

LL b,d,n;

Mat A,I;

LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL ans=0,p=a;
    while(b>0)
    {
        if(b & 1)   ans=(ans+p)%MOD;
        p=(p+p)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

Mat mul(Mat A,Mat B)
{
    Mat c;
    memset(c.m,0,sizeof c.m);
    Rep(i,0,1)  Rep(j,0,1)  Rep(k,0,1)
        c.m[i][j]=(c.m[i][j]+ksm(A.m[i][k],B.m[k][j]))%MOD;
    return c;
}

Mat pow(LL n)
{
    Mat ans=A,p=I;n--;
    while(n>0)
    {
        if(n & 1)   ans=mul(ans,p);
        p=mul(p,p);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%llu%llu%llu",&b,&d,&n);
    if(n==0)    {puts("1");return 0;}
    A.m[0][0]=b;A.m[0][1]=2;
    I.m[0][0]=b,I.m[1][0]=(d-(b*b))/4;I.m[0][1]=1;

    Mat ans=pow(n);
    printf("%llu",ans.m[0][0]%MOD-(~n&1));
    return 0;
}