bzoj 4002 [JLOI2015]有意义的字符串数学

最新推荐文章于 2020-03-11 00:21:00 发布

make_it_for_good

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分类专栏：数学

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂优化数列递推公式的高效算法，并通过一个具体的数学实例展示了如何通过该算法求解特定形式的数列问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

构造数列 $a_n=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^n+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$
$x^n+y^n=(x^{n-1}+y^{n-1})*(x+y)-(x^{n-2}+y^{n-2})*xy$
因此 $a_n=b*a_{n-1}+\frac{d-b*b}{4}a_{n-2}$
然后就可以矩乘得到 $a_n$
由于 $a_n$ 为正整数且 $|(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n|<1$
因此 $(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$ 只在n为偶数且 $\sqrt{d}!=b$ 时为正。此时答案需要-1。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mod 7528443412579576937ll
ll b,d,n;
ull mul(ull x,ull y)
{
    ull ret=0;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
struct Matrix
{
    ull w[3][3];
    void init()
    {
        memset(w,0,sizeof(w));
        w[0][0]=w[1][1]=1;
    }
    friend Matrix operator * (const Matrix &r1,const Matrix &r2)
    {
        Matrix ret;
        memset(&ret,0,sizeof(ret));
        for(int i=0;i<=1;i++)
            for(int j=0;j<=1;j++)
                for(int k=0;k<=1;k++)
                    ret.w[i][j]=(ret.w[i][j]+mul(r1.w[i][k],r2.w[k][j]))%mod;
        return ret;
    };
}mat;
Matrix qpow(Matrix x,ll y)
{
    Matrix ret;ret.init();
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x;
        x=x*x;y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    //freopen("tt.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld%lld",&b,&d,&n);
    if(n==0)return puts("1"),0;
    mat.w[0][1]=1;
    mat.w[1][0]=(d-b*b)/4;
    mat.w[1][1]=b;
    mat=qpow(mat,n-1);
    ll t=(mul(mat.w[1][0],2)+mul(mat.w[1][1],b))%mod;
    if(n%2==0&&d!=b*b)t=((ull)t-1+mod)%mod;
    printf("%lld\n",t);
    return 0;
}