BZOJ4002 有意义的字符串

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#矩阵乘法

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矩阵乘法

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本文详细阐述了如何通过构建转移矩阵和利用矩乘技术，在对数时间内解决复杂数学表达式的计算问题，特别针对特定形式的幂次运算与模运算进行了优化，包括关键步骤的解析与代码实现细节。

题目简述:
求下面这一坨东西的值：

⌊ (b + d \sqrt 2) n ⌋ mod 7528443412579576937

$\bigg \lfloor\Big( \frac{b+\sqrt{d}}{2} \Big)^n\bigg\rfloor \mod 7528443412579576937$
题解:
我们先把里面玩意拿出来单独看
我们令

x 1 = b + d \sqrt 2

$x_1=\frac{b+\sqrt{d}}{2}$

x 2 = b - d \sqrt 2

$x_2=\frac{b-\sqrt{d}}{2}$
显然

x1,x2 $x_1,x_2$ 是方程

x2−bx+b2−d4=0 $x^2-bx+\frac{b^2-d}{4}=0$ 的两根
考虑特征根方程，则我们可以令数列

{An} $\{A_n\}$ ,其中

A n = (b + d \sqrt 2) n + (b - d \sqrt 2) n

$A_n=\Big(\frac{b+\sqrt{d}}{2}\Big)^n+\Big(\frac{b-\sqrt{d}}{2}\Big)^n$
那么

An $A_n$ 满足

A n = b A n - 1 - b 2 - d 4 A n - 2

$A_n=bA_{n-1}-\frac{b^2-d}{4}A_{n-2}$
这东西可以用矩乘

O(lgn) $O(\lg n)$ 求，转移矩阵大概长这样：

⎡ ⎣ ⎢ b 1 d - b 2 4 0 ⎤ ⎦ ⎥

$\begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} b&&\frac{d-b^2}{4}\\1&&0\\ \end{array}\right] \end{equation}$ (转移的方法因人而异，看你用哪种)
然后要求的东西还要用

An $A_n$ 减去

(b−d√2)n $\Big(\frac{b-\sqrt{d}}{2}\Big)^n$ 。这玩意显然是小于1大于等于0的。
所以在

An $A_n$ 的基础上再减1即可，当

b2=d $b^2=d$ 或

n为奇数时不用减
P.S.刚开始交一直wa，然后wyf大爷一语道破：没考虑n=0的情况。。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef unsigned long long ll;
typedef double db;

const int inf=0x3f3f3f3f;

int getint()
{
    int f=1,g=0;char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0' && c<='9')g=(g<<3)+(g<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*g;
}

const ll mod=7528443412579576937LL;

ll mul(ll a,ll b)
{
    ll res=0;
    for(;b;b>>=1,a=(a+a)%mod)
    {
        if(b&1)res=(a+res)%mod;
    }
    return res;
}

struct matrix{
    ll a[3][3];
    void init(){memset(a,0,sizeof a);}
    void set(){a[1][1]=a[2][2]=1ll;}
    matrix operator * (const matrix &b)const
    {
        matrix c;c.init();
        for(int i=1;i<=2;i++)
        {
            for(int j=1;j<=2;j++)
            {
                for(int k=1;k<=2;k++)
                {
                    c.a[i][k]=(c.a[i][k]+mul(a[i][j],b.a[j][k]))%mod;
                }
            }
        }
        return c;
    }
    matrix operator ^ (const ll &num)const
    {
        matrix res;res.init();res.set();
        matrix a=*this;
        for(ll i=num;i;i>>=1,a=a*a)
        {
            if(i&1)res=res*a;
        }
        return res;
    }
};

ll b,d;
ll n;

int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);

    cin>>b>>d>>n;

    if(n==0)
    {
        puts("1");
        return 0;
    }

    matrix trans;trans.init();
    matrix now;now.init();

    now.a[1][1]=b;
    now.a[2][1]=2;

    trans.a[1][1]=b;
    trans.a[1][2]=(d-b*b)>>2;
    trans.a[2][1]=1ll;

    trans=trans^(n-1);
    now=trans*now;
    ll ans=now.a[1][1];
    ans-=(d!=b*b&&~n&1);

    printf("%lld\n",ans);

    return 0;
}