limx→0ax−asinxx3f′(ξ)=ax−asinxx−sinx原式=limx→0ax−asinxx−sinxx−sinxx3(同样的对于等价无穷小,极限的四则运算法则才是根本条件)=limξ,x→0f′(ξ)x−sinxx3=limξ,x→0lna∗aξ∗16x3+o(x3)x3=16lna \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-a^{sinx}}{x^3}\\ f'(ξ)=\frac{a^{x}-a^{sinx}}{x-sinx}\\ 原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-a^{sinx}}{x-sinx} \frac{x-sinx}{x^3}(同样的对于等价无穷小,极限的四则运算法则才是根本条件)\\ =\lim_{ξ,x \rightarrow 0 } f'(ξ) \frac{x-sinx}{x^3}\\ =\lim_{ξ,x \rightarrow 0 } lna*a^ξ* \frac{\frac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}lnax→0limx3ax−asinxf′(ξ)=x−sinxax−asinx原式=x→0limx−sinxax−asinxx3x−sinx(同样的对于等价无穷小,极限的四则运算法则才是根本条件)=ξ,x→0limf′(ξ)x3x−sinx=ξ,x→0limlna∗aξ∗x361x3+o(x3)=61lna
limx→0ex2−exx2−xξ∈(x2,x)原式=limξ→0+f′(ξ)=1 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-e^{x}}{x^2-x}\\ ξ\in(x^2,x)\\ 原式 =\lim_{ξ \rightarrow 0+ } f'(ξ) \\ =1x→0limx2−xex2−exξ∈(x2,x)原式=ξ→0+limf′(ξ)=1
柯西中值定理
limn→+∞n(xn−1)(1)x=1,因为xn=1,无穷大∗0=0\lim_{n\rightarrow +\infty}^{}n(\sqrt[n]{x}-1)\\
(1)x=1,因为\sqrt[n]{x}=1,无穷大*0=0n→+∞limn(nx−1)(1)x=1,因为nx=1,无穷大∗0=0
(我们说的0无穷大是未定式,那是指趋于0的数趋于无穷大的数.0乘以任何数都等于0)
(2)x≠0,f(x)=xn,g(x)=lnx(在闭区间连续,开区间可到,g′(x)≠0)则xn−1lnx−0=1nξ1−nn1ξξ∈(1,x)或ξ∈(x,1)则limn→+∞xn−1=1nlnx (2)x\neq 0,f(x)=\sqrt[n]{x},g(x)=lnx(在闭区间连续,开区间可到,g'(x)\neq 0)\\
则\frac{\sqrt[n]{x}-1}{lnx-0}=\frac{\frac{1}{n} ξ^\frac{1-n}{n}}{\frac{1}{ξ}}\\
ξ\in(1,x)或ξ\in(x,1)\\
则\lim_{n\rightarrow +\infty}^{}\sqrt[n]{x}-1=\frac{1}{n}lnx
(2)x=0,f(x)=nx,g(x)=lnx(在闭区间连续,开区间可到,g′(x)=0)则lnx−0nx−1=ξ1n1ξn1−nξ∈(1,x)或ξ∈(x,1)则n→+∞limnx−1=n1lnx