拉格朗日中值+柯西中值求极限+对于等价无穷小,等价代换,极限的四则运算法则是根本+一元微积分

本文探讨了利用泰勒展开和等价无穷小替换法则解决极限问题的方法,并通过具体实例展示了如何运用柯西中值定理来求解涉及指数函数、三角函数及幂函数的极限问题。

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lim⁡x→0ax−asinxx3f′(ξ)=ax−asinxx−sinx原式=lim⁡x→0ax−asinxx−sinxx−sinxx3(同样的对于等价无穷小,极限的四则运算法则才是根本条件)=lim⁡ξ,x→0f′(ξ)x−sinxx3=lim⁡ξ,x→0lna∗aξ∗16x3+o(x3)x3=16lna \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-a^{sinx}}{x^3}\\ f'(ξ)=\frac{a^{x}-a^{sinx}}{x-sinx}\\ 原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-a^{sinx}}{x-sinx} \frac{x-sinx}{x^3}(同样的对于等价无穷小,极限的四则运算法则才是根本条件)\\ =\lim_{ξ,x \rightarrow 0 } f'(ξ) \frac{x-sinx}{x^3}\\ =\lim_{ξ,x \rightarrow 0 } lna*a^ξ* \frac{\frac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}lnax0limx3axasinxf(ξ)=xsinxaxasinx=x0limxsinxaxasinxx3xsinx=ξ,x0limf(ξ)x3xsinx=ξ,x0limlnaaξx361x3+o(x3)=61lna


lim⁡x→0ex2−exx2−xξ∈(x2,x)原式=lim⁡ξ→0+f′(ξ)=1 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-e^{x}}{x^2-x}\\ ξ\in(x^2,x)\\ 原式 =\lim_{ξ \rightarrow 0+ } f'(ξ) \\ =1x0limx2xex2exξ(x2,x)=ξ0+limf(ξ)=1


柯西中值定理

lim⁡n→+∞n(xn−1)(1)x=1,因为xn=1,无穷大∗0=0\lim_{n\rightarrow +\infty}^{}n(\sqrt[n]{x}-1)\\ (1)x=1,因为\sqrt[n]{x}=1,无穷大*0=0n+limn(nx1)(1)x=1,nx=10=0
(我们说的0无穷大是未定式,那是指趋于0的数趋于无穷大的数.0乘以任何数都等于0)
(2)x≠0,f(x)=xn,g(x)=lnx(在闭区间连续,开区间可到,g′(x)≠0)则xn−1lnx−0=1nξ1−nn1ξξ∈(1,x)或ξ∈(x,1)则lim⁡n→+∞xn−1=1nlnx (2)x\neq 0,f(x)=\sqrt[n]{x},g(x)=lnx(在闭区间连续,开区间可到,g'(x)\neq 0)\\ 则\frac{\sqrt[n]{x}-1}{lnx-0}=\frac{\frac{1}{n} ξ^\frac{1-n}{n}}{\frac{1}{ξ}}\\ ξ\in(1,x)或ξ\in(x,1)\\ 则\lim_{n\rightarrow +\infty}^{}\sqrt[n]{x}-1=\frac{1}{n}lnx (2)x=0,f(x)=nx,g(x)=lnx(g(x)=0)lnx0nx1=ξ1n1ξn1nξ(1,x)ξ(x,1)n+limnx1=n1lnx

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