利用拉格朗日中值定理求极限

最新推荐文章于 2025-03-06 22:31:50 发布

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本文介绍了一种使用拉格朗日中值定理求极限的方法，适用于等价无穷小替代、洛必达法则及泰勒公式难以处理的情况。该方法尤其适合处理两项相减且形式相同、随变量变化而趋近的极限问题。

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求极限常用等价无穷小替代、洛必达法则、泰勒公式等方法，有时候等价无穷小不能用，洛必达法则过于繁琐，泰勒公式法虽然强大但是相对麻烦。对有一些形式，使用拉格朗日中值定理非常便捷。下面举两个个例子：

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ x^{2}\left ( \arctan( \frac{2}{x})-\arctan(\frac{2}{x+1})) \right )$

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$x^{2}\left (a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}} \right )$

这种形式的式子，很明显直接使用等价无穷小是不行的，洛必达法则又麻烦至极，泰勒公式做起来也不轻松。

我们发现上述式子有这样的特点：右侧减法式子里，两项的形式都非常类似，并且随着极限的趋向，两项越来越接近。这时候我们可以使用拉格朗日中值定理处理这个减法式子。

于是上述式子就可以变成（恒等变换）：

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ x^{2}\frac{1}{\zeta ^{2}+1}\left ( \frac{2}{x}-\frac{2}{x+1} \right )$

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ x^{2}*a^{\zeta}lna \left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )$

这个时候，随着x的增大，可以发现，拉格朗日中值定理作用的区间越来越小，最终可以确定 $\zeta\to0$ 然后接下来就非常好办了

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ \frac{2x^{2}}{x(x+1)}=2$

$$${\lim_{x \to +\infty}}$$ \frac{x^{2}lna}{x(x+1)}=lna$

上面的式子有这样的共性：1.存在两项相减因式且形式相同；2.随着x的变化，因式的两项越来越接近（ $\zeta$ 所在区间变小）

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