具有可加性的分布

常见的具有可加性的分布：

二项分布

$$X\sim B(m,p)Y\sim B(n,p),X,Y相互独立，X+Y\sim B(m+n,p)$$

泊松分布

$$\begin{gathered} X服从参数为{\lambda }_1的泊松分布，Y服从参数为{\lambda }_2的泊松分布， \\ X与Y相互独立，Z=X+Y，求证Z服从参数为{\lambda }_1+{\lambda }_2的泊松分布 \end{gathered}$$

$$P(Z=z)=\sum _{n=0}^{z}P(X=n,Y=z-n)$$

正态分布

卡方分布

不具有可加性：0-1、几何、均匀、指数

为什么0-1分布不具有可加性呢？二点分布加起来不就是二项分布吗？

        两点分布具有可加性，0-1分布是特殊的两点分布，所以0-1分布就有可加性才对！？

两个分布的定义

• 0-1分布是一种特殊的二项分布，当进行一次伯努利试验，则该试验的0-1分布是指结果只能是0或1两种可能的概率分布。例如，抛硬币的结果就是0-1分布，其中0表示正面朝上，1表示反面朝上。

• 而当进行n次独立的伯努利试验并且每次试验中成功的概率为p时，这就构成了一个二项分布。例如，抛10次硬币，求正面朝上5次的概率就是一个二项分布。

解释

• 假设 0-1分布具有可加性
  $$\begin{gathered} X\sim B(1,p)Y\sim B(1,p),X,Y相互独立，X+Y\sim B(1+1,p) \\ 但是B(1+1,p)不是0-1分布 \end{gathered}$$

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例题：设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，则X+Y与2X的关系是

A.有相同的分布

B.有相同的数学期望

C.有相同的方差

D.以上均不成立

例题来源

感谢提醒，这个例题的答案是错误的：

独立情况

$$\begin{gathered} P(Z=z)=\sum _{n=0}^{z}P(X=n,Y=z-n) \\ =\sum _{n=0}^{z}P(x=n)P(y=z-n)独立可以相乘 \\ =\sum _{n=0}^z\frac{{\lambda }_1^n}{n!}{e}^{-{\lambda }_1}\ast \frac{{\lambda }_1^n}{(z-n)!}{e}^{-{\lambda }_1} \\ =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{z!}\sum _{n=0}^z\frac{z!}{n!(z-n)!}{\lambda }_1^n{\lambda }_2^{z-n} \\ =\frac{e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}}{z!}({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^z \end{gathered}$$

非独立情况

$$\begin{gathered} P(Z=z)=\sum _{n=0}^{z}P(X=n,Y=z-n) \\ P(Z=z)=\sum _{n=0}^{z}P(X=n,X=z-n) \\ P(Z=z)=\sum _{n=0}^{z}P(X=n=\frac{z}{2}) \\ =P(X=\frac{z}{2})有了约束直接变为一项了 \end{gathered}$$

所以有相同的分布是错误的，要有独立的前提，但是X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y），期望即相加或者积分，其具有线性性质，所以应选择B项。