级数收敛判别法-优快云博客

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求和+差分+Abel变换

$狄利克雷判别法:若数列{an }单调且趋于0,S b_{k}有界，则级数>a。b。收敛$

$∑n=1Nanbn=∑n=1Nan(Sn−Sn−1)\sum_{n=1}^{ N}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{ N} a_{n}(S_{n}-S_{n-1})$

$a_{N}S_{N}-a_{N}S_{N-1} \\ a_{N-1}S_{N-1}-a_{N-1}S_{N-2} \\ a_{N-2}S_{N-2}-a_{N-2}S_{N-3} \\ \vdots \qquad \qquad \vdots \\a_{3}S_{3}-a_{3}S_{2} \\ a_{2}S_{2}-a_{2}S_{1} \\ a_{1}S_{1}-a_{1}S_{0}$

$提出首尾 a_{N}S_{N}--a_{1}S_{0}$
$剩下∑n=2Nsn−1(an−an−1)剩下\sum_{n=2}^{ N} s_{n-1}(a_{n}-a_{n-1})$

1.提出求和部分，使得差部分抵消，所以要求和部分有界
2.由此对a_n部分使用三角不等式放缩，要求a_n单调

$加上绝对值考虑∣∑n=1Nanbn∣=∣∑n=2Nsn−1(an−an−1)∣+∣aNSN−−a1S0∣=∑n=2N∣sn−1(an−an−1)∣+∣aNSN−−a1S0∣单调后（an−an−1）都是同号的,能去掉绝对值进行“消去”运算≤∑n=2NM∣(an−an−1)∣+∣aNSN−−a1S0∣=M∣(an−a1)∣+∣aNSN−−a1S0∣加上绝对值考虑|\sum_{n=1}^{ N}a_{n}b_{n}|=|\sum_{n=2}^{ N} s_{n-1}(a_{n}-a_{n-1})|+|a_{N}S_{N}--a_{1}S_{0}|\\=\sum_{n=2}^{ N}| s_{n-1}(a_{n}-a_{n-1})|+|a_{N}S_{N}--a_{1}S_{0}|\\ 单调后（a_{n}-a_{n-1}）都是同号的,能去掉绝对值进行“消去”运算\\ \leq\sum_{n=2}^{ N}M|(a_{n}-a_{n-1})|+|a_{N}S_{N}--a_{1}S_{0}|= M|(a_{n}-a_{1})|+|a_{N}S_{N}--a_{1}S_{0}|$

3.要求收敛则余项部分应为零(柯西收敛准则) $∑n=1Nanbn≈0,，由上只需∣∑n=1Nanbn∣<ε\sum_{n=1}^{ N}a_{n}b_{n} \approx 0 ,，由上只需|\sum_{n=1}^{ N}a_{n}b_{n}| < ε$
$最后N项"有相同的形式:M|(a_{n}-a_{1})|+|a_{N}S_{N}|$