博弈论：帕累托最优与纳什均衡的联系和区别

$$囚徒困境中，(C,C)为纳什均衡，其他为帕累托最优$$

帕累脱最优（特点：不能损害对手的利益）

帕累托改进

• 如果对某一种方案而言，存在着一种调整策略，使得原方案经过调整后，能让至少一个人受益的同时不让任何人受到损失，那么这种调整策略就称为帕累托改进。

帕累托最优

• 找不到任何的帕累托改进的余地，我们就说这个方案达到了帕累托最优。这意味着，帕累托最优的局面是所有人都满意的整体有利的方案。在这种情形下，如果某些人还想增加自己的利益，就只能损害别人的利益。所以很明显的是，帕累托最优是一种整体上的评价。
• CC存在帕累托改进（让系统种的一个人变好但是不影响其他人），所以不是帕累托最优

纳什均衡纳（特点：非合作，动态平衡）

• 纳什均衡纳什均衡是非合作博弈论中的一个基础概念。
  而非合作博弈是指排除玩家结盟的情形，每个玩家都是独立的。 一般而言，每个玩家的决策都会影响到别人，所以当你改变策略时，别的玩家就会相应变换自己的对策，整个游戏局面就会不断地发生变化。
  而纳什均衡却指出了游戏过程中可能出现的一种特殊状态。在这个局面下，如果其他玩家的策略不变，每一个玩家都没有动机改变自己现在的策略。这个时候所有的玩家就进入了一种平衡态，称为纳什均衡。也就是说，在纳什均衡下，每个人都满意自己当前的策略。

• 甲：“
  假如乙不招供，我只要招供，立即可以获得自由，而不招供却要坐牢1年，显然招供好；
  假如乙招供了，我若不招供，要坐牢10年，我招供了只坐5年牢，显然还是招供的好。”
• 可见，无论乙招供与否，我的最佳选择都是招供。乙同理。

纳什均衡存在定理

$$\begin{gathered} 在混合策略的情况下，有限个玩家与有限个动作的情况下，至少存在一个纳什均衡点。 \\ 比如在零和博弈的“石头剪子布”游戏中[\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}]策略为纳什均衡策略 \end{gathered}$$

帕累托最优与纳什均衡的数学描述

Minimax定理

极小化极大决策函数