极限运算中的一个经典例题

同一极限号后的同一变量的趋向具有同时性，不能人为制造先后顺序

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}(1+x{)}^{x^2} \\ ⟶\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}\ast e^x \\ =1 \end{gathered}$$

应该将极限值放在一起计算
$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}\ast e^{x^{2}ln(1+\frac{1}{x})} \\ \stackrel{e^{lnx}=x}{⟶}=\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x+x^{2}ln(1+\frac{1}{x})} \end{gathered}$$
$$\underset{x\to \infty }{\lim }-x+x^{2}ln(1+\frac{1}{x})$$
$$\begin{gathered} 当极限存在时，和的极限⟺极限的和 \\ 但是\lim (1)与\lim x\ast \lim \frac{1}{x} \\ 则应该使用微分的定义(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)，which推导四则运算的)或洛 \end{gathered}$$