本文深入探讨了微分方程的解的性质，包括通解和特解的概念，以及如何通过积分找到特定类型的偏微分方程的解。此外，还讨论了定解问题的适定性，以及初值问题和边值问题的区别。
背景：反映某物理过程的微分方程并不能完全确定一个物理过程。
1. 通解和特解
如果多元函数
u
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
u(x_1,x_2,...,x_n)
u(x1,x2,...,xn)在空间区域
V
⊂
R
n
V\subset \bold R^n
V⊂Rn内具有方程中出现的各阶连续偏导数，并使方程
F
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
,
u
,
∂
u
∂
x
1
,
.
.
.
,
∂
u
∂
x
n
,
.
.
.
,
∂
m
u
∂
x
1
m
1
∂
x
2
m
2
.
.
.
∂
x
n
m
n
)
=
0
,
m
=
m
1
+
m
2
+
⋅
⋅
⋅
+
m
n
F(x_1,...,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},...,\frac{\partial u}{\partial x_n},...,\frac{\partial^mu}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}...\partial x_n^{m_n}})=0, \quad m=m_1+m_2+···+m_n
F(x1,...,xn,u,∂x1∂u,...,∂xn∂u,...,∂x1m1∂x2m2...∂xnmn∂mu)=0,m=m1+m2+⋅⋅⋅+mn
成为恒等式，则称此函数为上式方程在区域V内的解。也称为古典解。对解的要求很高。
例1：
求解一阶偏微分方程 ∂ u ∂ ξ = 0 , u = u ( ξ , η ) \frac{\partial u}{\partial \xi}=0,u=u(\xi,\eta) ∂ξ∂u=0,u=u(ξ,η)
解：方程两边对
ξ
\xi
ξ积分，得
u
=
f
(
η
)
u=f(\eta)
u=f(η)
对于任意C（R）函数
f
,
u
f,u
f,u都是方程在全平面的解。
例2：求解二阶偏微分方程 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ e t a = 0 , u = u ( ξ , η ) \frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial eta}=0,u=u(\xi,\eta) ∂ξ∂eta∂2u=0,u=u(ξ,η).
解：两边依次对
ξ
,
η
\xi,\eta
ξ,η积分，得
u
=
f
‾
(
ξ
)
+
g
(
η
)
u=\overline f(\xi)+g(\eta)
u=f(ξ)+g(η)
对于任意
C
1
(
R
)
C^1(\bold R)
C1(R)函数f，g，u都是方程在全平面的解。
结论：偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数。称m阶偏微分方程的含有m个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或任意常数的解为方程的一个特解。通解中的任意函数一旦确定，通解就成为特解。
2. 定解问题及其适定性
定解问题：泛定方程+定解条件 —— 描述物理过程的完整的数学模型
定解问题的解：满足定解条件的泛定方程的解
定解问题的古典解：若泛定方程在区域V内的解，以及其在定解条件中出现的偏导数，都连续到V的边界，且在边界上满足定解条件。
适定的定解问题：解存在、唯一和稳定
- 初值问题：泛定方程+初始条件（如无界弦的振动问题）
- 混合问题：泛定方程+初始条件+边界条件 （如有界弦的振动问题）
- 边值问题：泛定方程（稳态）+ 边界条件（场位方程的稳定方程）
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