高等数学 7.10常系数线性微分方程组解法举例

在研究某些实际问题时，会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情况。这些联立的微分方程称为微分方程组。

如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程组。

对于常系数线性微分方程组，我们可以用下述的方法求解它：

第一步 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程。

第二步 解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数。

第三步 把已求得的函数代入原方程组，一般来说，不必经过积分就可求出其余未知函数。

例1 解方程组
$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3y-2z(1)\\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=2y-z(2)\end{array}$$

解：这是含有两个未知函数$y(x),z(x)$ 的由两个一阶常系数线性方程组成的方程组。

设法消去未知函数 $y$ 。由 $(2)$ 式得
$$y=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+z\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$
对上式两端求导，有
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\left(\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$

把 $(3)$ 、$(4)$ 代入 $(1)$ 并化简，得
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{x}^2}-2\underset{\mathrm{d}x}{}$$