微分方程笔记

微分方程

• 定义：含有未知数，未知函数，未知函数微分的的等式。
• 一阶微分方程
  • 可分离变量型
  • 微分齐次方程：$\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$,可令$u=\frac{y}{x}$,将其转换为可分离变量型
• 二阶微分方程
  • 可降阶的微分方程
    1. $y^{{}^{\prime \prime }}=f(x)$
    2. $y^{{}^{\prime \prime }}=f(x,y^{{}^{\prime }})$ 令$p=y^{{}^{\prime }}$进行降阶
    3. $y^{{}^{\prime \prime }}=f(y,y^{{}^{\prime }})$ 令$p=y^{{}^{\prime }}$进行降阶
• 一阶线性微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$
  • 一阶线性齐次微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$
    (可通过分离变量法解出通解)
  • 一阶线性非齐次微分方程：(通解=对应齐次通解+特解)
    1. 求对应齐次型的通解
    2. 使用常数易变法求出通解
• 二阶线性常系数微分方程：$\frac{d^{2}y}{d^{2}x}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=f(x)$
  • 二阶线性常系数齐次微分方程: $\frac{d^{2}y}{d^{2}x}+p{y}^{{}^{\prime }}+$