高等数学笔记-乐经良老师-第六章-微分方程

本文探讨了微分方程的解的结构,包括线性齐次和非齐次方程的解法。介绍了线性微分方程的叠加原理,线性无关解的概念,以及如何找到基本解组。特别讨论了常系数线性方程的解,如特征根的概念,以及如何通过变量代换处理Euler方程。此外,还提到了二阶线性方程的解的结构定理,包括不同特征根情况下的解的形式。

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高等数学笔记-乐经良老师

第六章 微分方程

第一节 微分方程基本概念

一、引例

01 Malthus 模型

人口总数——P(x)单位时间人口增长率——r从t→t+Δt,P(t+Δt)−P(t)Δt=rP(t)⇒dPdt=rP←含未知函数一阶导数称为一阶微分方程。 \begin{aligned} & 人口总数——P(x)\\ & 单位时间人口增长率——r\\ & 从 t \rightarrow t+ \Delta t,\frac{P(t+ \Delta t)-P(t)}{\Delta t}=rP(t)\\ & \Rightarrow \frac{dP}{dt}=rP \quad \leftarrow 含未知函数一阶导数\\ & 称为一阶微分方程。 \end{aligned} 人口总数——P(x)单位时间人口增长率——rtt+ΔtΔtP(t+Δt)P(t)=rP(t)dtdP=rP含未知函数一阶导数称为一阶微分方程。

02 假画的鉴定问题

二战结束时,Meegeren因将名画卖给纳粹头目Goering受审,Meegeren辩称那些画是他自己所作假,其中包括绘画大师Vermeer的′′基督与长老′′,这画的鉴定直至1960年代才解决。画颜料中含有放射性物质 m  (例如C−14)⇒dmdt=−rm (r−衰减常数)r=ln2半衰期,分析 C−14 衰变量的比例确定年代。 \begin{aligned} & 二战结束时,Meegeren因将名画卖给纳粹头目Goering受审, Meegeren辩称那些画是他自己所作假,\\ & 其中包括绘画大师Vermeer的''基督与长老'',这画的鉴定直至1960年代才解决。 \\ & 画颜料中含有放射性物质\ m \ \ (例如 C-14)\quad\Rightarrow\frac{dm}{dt}=-rm \ (r-衰减常数)\\ & r=\frac{ln2}{\text{半衰期}},分析\ C-14\ 衰变量的比例确定年代。 \end{aligned} 二战结束时,Meegeren因将名画卖给纳粹头目Goering受审,Meegeren辩称那些画是他自己所作假,其中包括绘画大师Vermeer′′基督与长′′,这画的鉴定直至1960年代才解决。画颜料中含有放射性物质 m  (例如C14)dtdm=rm (r衰减常数)r=半衰期ln2,分析 C14 衰变量的比例确定年代。

03 核废料的处理

美国原子能委员会曾将密封着核废料的圆桶扔到深海底。环保者提出质问:安全否?实验表明速度达12.2m/s时圆桶可能破裂。海面下水深度y(t),海水密度D-1026kg/m3,桶重W-249kg,体积V-0.208m3,阻力系数k=0.12,浮力B=VD=213.41kg.依牛顿第二定律,md2ydt2=W−B−kdydt.二阶微分方程 \begin{aligned} & 美国原子能委员会曾将密封着核废料的圆桶扔到深海底。环保者提出质问:安全否?\\ & 实验表明速度达12.2m/s时圆桶可能破裂。\\ & 海面下水深度 y(t),海水密度D-1026kg/m^3,桶重W -249kg,体积V-0.208m^3,\\ & 阻力系数k=0.12,浮力B = VD=213.41kg .\\ & 依牛顿第二定律,m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=W-B-k \frac{d y}{d t} .\\ & 二阶微分方程 \end{aligned} 美国原子能委员会曾将密封着核废料的圆桶扔到深海底。环保者提出质问:安全否?实验表明速度达12.2m/s时圆桶可能破裂。海面下水深度y(t),海水密度D1026kg/m3,桶重W249kg,体积V0.208m3阻力系数k0.12,浮力B=VD=213.41kg.依牛顿第二定律,mdt2d2y=WBkdtdy.二阶微分方程

二、概念

01 一般形式
  • F(x,y,y′,⋯ ,y(n))=0F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0F(x,y,y,,y(n))=0 —— nnn 阶微分方程
  • xxx 为自变量,yyy 为函数
02 相关概念
  • 微分方程:含有未知函数导数的等式。
  • 方程的:未知函数导数的最高阶数。
  • 方程的:一个满足方程的已知函数。
    • 通解:含有独立任意常数个数等于方程的阶的解。
    • 特解:同阶中任意常数确定的解。
    • 奇解:不能被通解所表示的解。
    • 全部解:全部解 = 通解 + 奇解 .
  • 定解条件:确定特解的条件。包括初始条件和边界条件。
  • 定解问题:方程 + 定解条件。

第二节 一阶微分方程

一、可分离变量方程

01 可分离变量方程
  • 定义

    • 若一阶微分方程可以化为 g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx​ ( 标准形式 ) 的形式,则称此方程为可分离变量方程。
  • 形式

    • g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx (标准形式)
    • dydx=f(x)h(y)\frac{d y}{d x}=f(x)h(y)dxdy=f(x)h(y)​​ (其它形式)
  • 解法

    ​ (1) 化标准: g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx

    ​ (2) 两边积分:∫g(y)dy=∫f(x)dx+C\int g(y)dy=\int f(x)dx+Cg(y)dy=f(x)dx+CCCC 为任意常数)

  • 注意

    • 对于其他形式 dydx=f(x)h(y)\frac{d y}{d x}=f(x)h(y)dxdy=f(x)h(y) ,化标准时要讨论 h(y)h(y)h(y) 是否等于 000​ 。
    • 使 h(y)=0h(y)=0h(y)=0 的常数 y=Cy=Cy=C 也是方程的解。
02 可化可分离变量方程

(1) 可化可分离变量方程⋅\cdot​其一

  • 形式

    • y′=f(ax+by+c)(b≠0) y^{\prime}=f(a x+b y+c) \quad(b \neq 0) y=f(ax+by+c)(b=0)
  • 解法

    • 令z=ax+by+c⇒dzdx=bf(z)+a \text{令}z=a x+b y+c \Rightarrow \frac{d z}{d x}=b f(z)+a z=ax+by+cdxdz=bf(z)+a

    • z=ax+by+cz=ax+by+cz=ax+by+c ⇒\Rightarrow f(z)dz=?f(z)dz=?f(z)dz=? 等学到这里仔细研究哦​​

(2) 可化可分离变量方程⋅\cdot其二

  • 形式

    • y′=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2) y^{\prime}=f\left(\frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}{a_{2} x+b_{2} y+c_{2}}\right) y=f(a2x+b2y+c2a1x+b1y+c1)

    • 只需讨论 c1,c2c_{1}, c_{2}c1,c2 不全为零,且 a1a2≠b1b2\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}a2a1=b2b1 (此时为准齐次方程)

  • 解法

    • X‾=x−x0\overline{X}=x-x_{0}X=xx0Y‾=y−y0\overline{Y}=y-y_{0}Y=yy0,其中 (x0,y0)\left(x_{0}, y_{0}\right)(x0,y0) 满足 {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\end{array}\right.{a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

二、一阶齐次方程

  • 定义

    • 若方程 dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx}=f(x,y)dxdy=f(x,y) 的右端 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 可化为 g(yx)g(\frac{y}{x})g(xy) 的形式,则称此方程为一阶齐次方程。
    • 零次齐次函数:若方程 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 满足 f(x,y)=f(λx,λy)  λ≠0f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)\,\ \lambda\neq0f(x,y)=f(λx,λy) λ=0,则此函数称为零次齐次函数。
  • 形式
    dydx=g(yx) \frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x}) dxdy=g(xy)

  • 解法
    (1)  化标准:dydx=g(yx)(2)  换元:设 u=yx ⇒ y=ux ⇒ y′=u+xu′(3)  代入:得到 x⋅dudx=g(u)−y ⇒ dudx=g(u)−ux  (可分离变量方程) \begin{aligned} & (1)\ \ 化标准:\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x})\\ & (2)\ \ 换元:设\ u=\frac{y}{x}\ \Rightarrow \ y=ux \ \Rightarrow \ y'=u+xu' \\ & (3)\ \ 代入:得到\ x\cdot \frac{du}{dx}=g(u)-y\ \Rightarrow \ \frac{du}{dx}=\frac{g(u)-u}{x} \ \ (可分离变量方程) \end{aligned} (1)  化标准:dxdy=g(xy)(2)  换元: u=xy  y=ux  y=u+xu(3)  代入:得到 xdxdu=g(u)y  dxdu=xg(u)u  (可分离变量方程)

三、一阶线性方程

01 定义

dydx+P(x)y=Q(x) 或 y′+P(x)y=Q(x)(对应的齐次方程:dydx+P(x)y=0) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\ 或\ y'+P(x)y=Q(x)\quad(对应的齐次方程:\frac{dy}{dx}+P(x)y=0) dxdy+P(x)y=Q(x)  y+P(x)y=Q(x)(对应的齐次方程:dxdy+P(x)y=0)

02 形式
  • y′+P(x)y=Q(x) y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y+P(x)y=Q(x)

  • Q(x)Q(x)Q(x) 为非齐次项

03 解法
  • 常数变易法
  • 先考虑特殊情况 Q=0Q=0Q=0 时的解,再在通解中将常数变换成待定函数。
04 公式
  • y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C) \begin{aligned} & y=e^{-\int P(x) d x}\left(\int Q(x) e^{\int P(x) d x}dx+C\right) \end{aligned} y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)

  • $ \int P(x) d x$ 表示一个原函数

五、伯努利方程

01 形式
  • y′+P(x)y=Q(x)yn(n≠0,1) y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y^{n} \quad(n \neq 0,1) y+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)

  • n=0n=0n=0 时,方程为一阶线性方程。

  • n=1n=1n=1 时,方程为可分离变量方程。

02 解法

(1)  代换z=y1−n(2)  z′+(1−n)Pz=(1−n)Q(线性方程) \begin{aligned} & (1)\ \ \text{代换} z=y^{1-n} \\ & (2)\ \ z^{\prime}+(1-n) P z=(1-n) Q \text{(线性方程)} \end{aligned} (1)  代换z=y1n(2)  z+(1n)Pz=(1n)Q(线性方程)

第三节 可降阶的高阶微分方程

一、 y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x)​​ 型方程
  • 解法
    • 积分一次,就降阶一次。
    • y(n−1)=∫f(x)dx+c1y^{(n-1)}=\int f(x) d x+\mathrm{c}_{1}y(n1)=f(x)dx+c1
    • 逐次积分就可以求出通解。
二、 y′′=f(x,y′)y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)y′′=f(x,y)​​ (yyy​​ 型
  • 解法

    • 设 y′=p⇒dpdx=f(x,p) \begin{aligned} & \text{设} \ y^{\prime}=p \Rightarrow \frac{d p}{d x}=f(x, p) \end{aligned}  y=pdxdp=f(x,p)
三、 y′′=f(y,y′)y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)y′′=f(y,y)​ (xxx​ 型
  • 解法

    • 设 y′=p⇒pdpdy=f(y,p) \begin{aligned} & \text{设} \ y^{\prime}=p \Rightarrow p \frac{d p}{d y}=f(y, p) \\ \end{aligned}  y=ppdydp=f(y,p)

    • 注意以 yyy 为自变量

第四节 线性微分方程解的结构

〇、线性微分方程解的结构基础

01 nnn 阶线性微分方程标准形式
  • 标准形式
    • y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f(x)y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=f(x)y(n)+p1(x)y(n1)++pn1(x)y+pn(x)y=f(x)
    • p1(x),⋯ ,pn(x)p_{1}(x), \cdots, p_{n}(x)p1(x),,pn(x) ——方程的系数
    • f(x)f(x)f(x) ——非齐次项
  • 特点:方程中各项关于未知函数及其导数均不超过一次。
  • 齐次线性微分方程
    • f(x)=0f(x)=0f(x)=0 时,得到 y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=0y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=0y(n)+p1(x)y(n1)++pn1(x)y+pn(x)y=0
    • 称为对应的齐次线性微分方程。
02 线性方程叠加原理
  • y1(x)y_1(x)y1(x) 是方程  y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f1(x)\ y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=f_{1}(x) y(n)+p1(x)y(n1)++pn1(x)y+pn(x)y=f1(x) 的解。

  • y2(x)y_2(x)y2(x) 是方程  y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=f2(x)\ y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=f_{2}(x) y(n)+p1(x)y(n1)++pn1(x)y+pn(x)y=f2(x) 的解。

  • 联立两方程 ⇒\Rightarrow

  • c1y1(x)+c2y2(x)c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)c1y1(x)+c2y2(x)c1,c2c_1,c_2c1,c2 为任意常数)是方程

    p(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=c1f1(x)+c2f2(x)p^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)p(n)+p1(x)y(n1)++pn1(x)y+pn(x)y=c1f1(x)+c2f2(x) 的解。

03 推论(齐次线性方程的性质
  • y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x) 是方程 y(n)+p1(x)y(n−1)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y=0y^{(n)}+p_{1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x) y^{\prime}+p_{n}(x) y=0y(n)+p1(x)y(n1)++pn1(x)y+pn(x)y=0 的解。
  • ⇒\Rightarrow c1y1(x)+c2y2(x)c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)c1y1(x)+c2y2(x)c1,c2c_1,c_2c1,c2 为任意常数)此方程的解。

一、二阶齐次线性微分方程解的结构

00 二阶齐次线性方程标准形式

y′′+p(x)y′+q(x)y=0(HL) y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0 \quad (HL) y′′+p(x)y+q(x)y=0(HL)

01 线性相关与无关
  • 线性相关与线性无关的概念

    • 对函数 y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x), 若有不全为零常数 c1,c2c_{1}, c_{2}c1,c2
    • 使 c1y1(x)+c2y2(x)≡0c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) \equiv 0c1y1(x)+c2y2(x)0
    • 则称 y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x) 线性相关,否则称它们线性无关
  • 线性相关的充要条件
    y1(x),y2(x)y_{1}(x), y_{2}(x)y1(x),y2(x) 线性相关 ←——→ 充分必要条件 \stackrel{\text { 充分必要条件 }}{\leftarrow——\rightarrow}—— 充分必要条件  其中一个是另一个的常数倍

02 解的结构定理
  • 解的结构定理

    • y1(x)、y2(x)y_{1}(x) 、 y_{2}(x)y1(x)y2(x) 是方程 (HL)(H L)(HL) 的两个线性无关的解,称它们为方程的基本解组,

    • y1(x)、y2(x)y_{1}(x) 、 y_{2}(x)y1(x)y2(x) 是方程 (HL)(H L)(HL) 的两个线性无关的解,

      那么通解 c1y1(x)+c2y2(x)(c1,c2 任意常数 )\mathrm{c}_{1} y_{1}(x)+\mathrm{c}_{2} y_{2}(x) \quad\left(c_{1}, c_{2} \text { 任意常数 }\right)c1y1(x)+c2y2(x)(c1,c2 任意常数 )

      给出了方程 (HL)(H L)(HL) 的所有解。

    • 方程 (HL)(H L)(HL) 的所有解构成了一个二维线性空间,基本解组是它的一组基。

  • 求解二阶齐次线性方程

    • 求解二阶齐次线性方程归结为求出两个线性无关的解(即基本解组)
    • 如何求这方程两个线性无关的特解?==> 刘维尔公式
03 刘维尔公式
  • 刘维尔公式

    • y1(x)y_{1}(x)y1(x)(HL)(H L)(HL) 的非零解,
    • 那么 y2=y1∫1y12e−∫p(x)dxdxy_{2}=y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(x) d x} d xy2=y1y121ep(x)dxdx 是方程与 y1(x)y_{1}(x)y1(x)线性无关的解。
    • 常数变易法
  • 求方程 (HL)(H L)(HL) 的解

    • 求方程 (HL)(H L)(HL) 的解归结为求出一个非零特解

    • 如何求一个特解?

      简单形式方程常使用观察法找出特解

      xmx^{m}xmecxe^{c x}ecxsin⁡mx\sin m xsinmxcos⁡mx\cos m xcosmx

二、二阶线性非齐次方程解的结构

01 二阶线性非齐次方程的标准形式

y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)(NHL) y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x) \quad (NHL) y′′+p(x)y+q(x)y=f(x)(NHL)

02 对应的齐次线性方程

y′′+p(x)y′+q(x)y=0(HL) y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0 \quad (HL) y′′+p(x)y+q(x)y=0(HL)

03 解的结构定理
  • 解的结构定理

    • y∗(x)y^{*}(x)y(x) 是非齐次方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的解,
    • y1(x)y_{1}(x)y1(x), y2(x)y_{2}(x)y2(x) 是对应的齐次方程的基本解组,
    • 那么通解 y=y∗(x)+c1y1(x)+c2y2(x)y=y^{*}(x)+c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)y=y(x)+c1y1(x)+c2y2(x) (c1,c2\left(c_{1}, c_{2}\right.(c1,c2 是任意常数)
    • 给出了方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的全部解。
  • 求非线性方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的通解

    • 求非线性方程 (NHL)(N H L)(NHL) 的通解,只要求出一个特解和对应齐次方程的一个基本解组

    • 如何求出方程的特解呢?

      常用方法是常数变易法

  • 问题和思考

    • 如何定义 nnn 阶线性微分方程的 nnn 个解线性无关基本解组
    • nnn 阶齐次线性方程的解的结构。
    • nnn 阶非齐次线性方程的解的结构。

第五节 常系数线性微分方程

一、常系数线性齐次方程

01 常系数线性齐次方程
  • 二阶方程形式 y′′+py′+qy=0y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0y′′+py+qy=0 ,其中 pppqqq 为常数。
  • y=erxy=e^{r x}y=erx, 得到 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 ,称为特征方程
  • 这方程的两个根称为特征根
02 特征根的情况讨论
  • 特征方程有相异实根: r1,r2r_{1}, r_{2}r1,r2
    • 基本解组:er1x,er2xe^{r_{1} x}, e^{r_{2} x}er1x,er2x
  • 特征方程有相同实根: rrr
    • 基本解组:erx→刘维尔公式xerxe^{r x}\xrightarrow{刘维尔公式} x e^{r x}erx刘维尔公式xerx
  • 特征方程有共轭复根: α±iβ\alpha \pm i \betaα±iβ
    • 基本解组:e(α+iβ)xe^{(\alpha+i \beta) x}e(α+iβ)xe(α−iβ)xe^{(\alpha-i \beta) x}e(αiβ)x
    • 欧拉公式:eix=cos⁡x+isin⁡xe^{i x}=\cos x+i \sin xeix=cosx+isinx
    • 由欧拉公式,可联立基本解组化简为:eaxcos⁡βxe^{a x} \cos \beta xeaxcosβxeaxsin⁡βxe^{a x} \sin \beta xeaxsinβx

二阶齐次常系数微分方程的通解

特征根情况通解形式
相异实根 r1,r2r_1,r_2r1,r2c1er1x+c2er2xc_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x}c1er1x+c2er2x
相同实根 rrrc1erx+c2xerxc_{1} e^{r x}+c_{2} x e^{r x}c1erx+c2xerx
共轭复根 α±iβ\alpha \pm i\betaα±iβc1eαxcos⁡βx+c2eαxsin⁡βxc_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2} e^{\alpha x} \sin \beta xc1eαxcosβx+c2eαxsinβx

问题与猜测

二阶齐次常系数微分方程基本解组的结论如何推广到 nnn 阶齐次常系数微分方程?

二、常系数线性非齐次方程

01 常系数线性非齐次方程
  • 方程形式 y′′+py′+qy=f(x)y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)y′′+py+qy=f(x) ,其中 pppqqq 为常数。
  • 求出对应齐次方程基本解组后,可用常数变易法求出特解。
  • 非齐次项 f(x)f(x)f(x) 为某些特殊形式时,则可用待定系数法来求特解。
02 两类方程的特解
(1) Ⅰ类方程
  • Ⅰ类方程 f(x)=(b0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm)eλxf(x)=\left(b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m-1} x+b_{m}\right) e^{\lambda x}f(x)=(b0xm+b1xm1++bm1x+bm)eλx
  • 方程的特解形式为 y∗=xk(B0xm+B1xm−1+⋯+Bm)eλxy^{*}=x^{k}\left(B_{0} x^{m}+B_{1} x^{m-1}+\cdots+B_{m}\right) e^{\lambda x}y=xk(B0xm+B1xm1++Bm)eλx
  • kkkλ\lambdaλ 作为特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 的根的重数 ( λ\lambdaλ 不是特征根是为 0 重根)
  • 根的重数:有几个相同的根,重数就是几。
    • 特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 有相异实根:根的重数为1
    • 特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 有相同实根:根的重数为2
    • 特征方程 r2+pr+q=0r^{2}+p r+q=0r2+pr+q=0 没有实根:根的重数为0
  • 因此 kkk 可能的取值为 0,1,20,1,20,1,2
  • 此待定系数法适用于高阶非齐次常系数线性方程和非齐次项 f(x)f(x)f(x) 为复数的情况
(2) Ⅱ类方程
  • Ⅱ类方程 f(x)=[P(x)cos⁡βx+Q(x)sin⁡βx]eαxf(x)=[P(x) \cos \beta x+Q(x) \sin \beta x] e^{\alpha x}f(x)=[P(x)cosβx+Q(x)sinβx]eαx
  • P(x),Q(x)P(x), Q(x)P(x),Q(x) 是最高次数为 mmm 的多项式
  • 方程的特解形式 y∗=xk[A(x)cos⁡βx+B(x)sin⁡βx]eαxy^{*}=x^{k}[A(x) \cos \beta x+B(x) \sin \beta x] e^{\alpha x}y=xk[A(x)cosβx+B(x)sinβx]eαx
  • kkkα+iβ\alpha+i \betaα+iβ 作为特征方程 r2+pr2+q=0r^2+pr^2+q=0r2+pr2+q=0 的根的重数(若不是特征根,则认为是 0 重根)
  • α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 作为特征方程的根的重数
    • α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 是特征方程的根,且为相异实根中的一个:k=1k=1k=1
    • α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 是特征方程的根,且为相同实根:k=2k=2k=2
    • α+iβ\alpha+i \betaα+iβ 不是特征方程的根:k=0k=0k=0
  • A(x),B(x)A(x), B(x)A(x),B(x)mmm 次待定多项式
  • 注意:即使 fffP=0P=0P=0(或 Q=0Q=0Q=0),所设特解中仍应同时含 cos⁡βx\cos \beta xcosβxsin⁡βx\sin \beta xsinβx
(3) Ⅰ类方程与Ⅱ类方程
  • 当方程的非齐次项是两个函数的和: f1+f2f_{1}+f_{2}f1+f2
  • f1f_{1}f1f2f_{2}f2 均具有上述 Ⅰ、Ⅱ 类函数形式,
  • 可以分别考虑以 f1f_1f1f2f_2f2 为非齐次项的两个方程,
  • 然后根据叠加原理将求得的两个解相加即可。

三、欧拉方程

01 形式
  • 二阶Euler方程形式:x2y′′+pxy′+qy=0x^{2} y^{\prime \prime}+p x y^{\prime}+q y=0x2y′′+pxy+qy=0
  • 其中 p,qp, qp,q 是实数
02 解法
  • 变量代换:令 x=etx=e^{t}x=et

xy′=dydtx2y′′=d2ydt2−dydt=ddt(ddt−1)y→D=ddtxy′=Dyx2y′′=D(D−1)y \begin{aligned} & x y^{\prime}=\frac{d y}{d t} \quad \quad x^{2} y^{\prime \prime}=\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-\frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\frac{d}{d t}-1\right) y \\ & \xrightarrow{D=\frac{d}{d t}}\quad x y^{\prime}=D y \quad \quad x^{2} y^{\prime \prime}=D(D-1) y\\ \end{aligned} xy=dtdyx2y′′=dt2d2ydtdy=dtd(dtd1)yD=dtdxy=Dyx2y′′=D(D1)y

  • 方程化为:[D(D−1)+pD+q] y=0[D(D-1)+p D+q]\ y=0[D(D1)+pD+q] y=0
  • 注意:正确理解符号的含义,DDD 是新定义的运算符而非一个结果。
  • 特征方程:r(r−1)+pr+q=0r(r-1)+p r+q=0r(r1)+pr+q=0
  • 求出以 ttt 为自变量的方程的解 => 原方程的解

最后

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😊熊曰:呋食食雜象非象嗚家吃呱山萌萌笨有哞魚既魚性蜜覺呆食哮性洞哮山噗眠嗥嚄萌洞擊嗄襲呱物人你
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😊PS:繁星依月/惟欢/一舟均为博主的马甲,本篇作品完全原创,再次感谢!

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