【考研数学】第三章：微分方程（复习版）

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分类专栏：考研数学文章标签：考研线性代数概率论

于 2024-05-22 15:52:32 首次发布

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形式2:某些特殊自由项的二阶常系数非齐次线性微分方程

ZERO、阅读须知：

⭐️不重要的用ℹ️标注，重点用🀄️标注

ONE、基础知识点复习：

1、通解、特解形式
2、一阶微分方程的求解六种形式与通用解法
2-1、当dy/dx看不出是什么一阶形式的时候，考虑？
3、高阶微分方程的求解两种形式与通用解法
4、欧拉方程的形式与通用解法

提示

1、一阶二阶分别有1、2个常数

2、前三种基本都是分离变量或者换元后分离变量求解

第四种形式后套公式求通解，第五种同除y的n次方后令z=y的1-n次方套第四种的公式

第六种二阶可降解微分方程有四种情况对应四种解（求特解在第一次积分过后把初始条

件代入求出第一个C能简便后面做法）

2-1、考虑转化为dx/dy观察形式

3、第二种非齐次线性微分方程有两个形式

4、背

一、微分方程中的基本概念

方程：含有未知数的等式

微分（导数）：y'dx（y'）

微分方程：未知数的微分（导数）+方程

微分方程的阶：微分方程的最高阶导数

n阶微分方程：微分方程+微分方程的阶

ℹ️常微分方程：一元函数+微分方程(考试基本都考的常微分，所以记不记都无所谓)

微分方程的解：微分方程的解

微分方程的通解：有任意常数，n个独立常数=阶数，🀄️1阶有C1一个常数、2阶就有C1、C2两个常数（注意通解不是全部解）

微分方程的特解（🀄️给定了初始条件来定常数）：答案没有C的解为特解，做题中会把初始条件代入求出具体的C

ℹ️积分曲线：一个特解对应一条积分曲线

初始条件：通解代入初始条件得特解（定常数）
二、一阶微分方程的求解

做题优先考虑通过四则运算把y'前面的系数变为1，如果观察不出是什么形式的话，可以考虑把dx当作分子，dy当作分母，把y'=dy/dx变为dx/dy形式观察，此时的dx就要当因变量来看待dy当自变量来看待了（如果不理解可以换元，x换元成y，y换元成x，来观察是什么形式的微分方程）
- 形式1:直接可分离变量型微分方程
  
  f(x)*g(y)
- 形式2:换元后可分离变量型微分方程
  
  f'x=f(ax+by+c) 令t=ax+by+c
- 形式3:齐次微分方程
  
  f(y/x)
  令t=y/x
  
  y'=u+xu'

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