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RSS订阅原创 高等数学 8.2 数量积 向量积 *混合积
这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，向量。由于可以认为零向量与任何向量都平行，因此，向量。来确定），那么混合积的符号是正的；是这样一个数，它的绝对值表示以向量。，则两个向量的数量积的坐标表示式为。为棱的平行六面体的体积。来确定），那么混合积的符号是负的。共面的充分必要条件是它们的混合积。，则三向量的混合积的坐标表示式为。由混合积的几何意义可知，若混合积。，把所得到的向量与第三个向量。，这样得到的数叫做三向量。
2025-01-05 16:29:44
1233
原创 高等数学 8.1向量及其线性运算
由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴。（以后简称 向量），即只考虑大小和方向，而不论它的起点在什么地方。之间取任意值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。面下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆时针方向确定，这八个卦线的分别用字母。客观世界中，有这样一类量，它们既有大小，又有方向，这一类量叫做。同方向的单位向量，那么按照向量与数的乘积的规定，由于。力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，我们也有向量的。
2024-12-28 16:49:24
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原创 高等数学 7.10常系数线性微分方程组解法举例
在研究某些实际问题时，会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情况。这里要注意，在求得一个未知函数以后，再求另一个未知函数式，一般不再积分（积分就会出现新的任意常数，从。从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程。如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么，这种微分方程组就叫做。把已求得的函数代入原方程组，一般来说，不必经过积分就可求出其余未知函数。解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数。的特解，只需将此条件代入。
2024-10-26 19:19:15
1712
原创 高等数学 7.8常系数非齐次线性微分方程
fxeλxPmxfxeλxPmxfxeλxPlxcosωxQnxsinωx二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是y′′py′qyfx1其中pq是常数由之前的内容可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程y′′py′qy02的通解和非齐次方程1本身的一个特解。
2024-10-24 10:57:56
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原创 高等数学 7.7常系数齐次线性微分方程
个根（重根按重复数计算），而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项哥含一个任意常数，这样就得到。的两个解，但它们是复值函数形式。为了得到实值函数形式的解，先利用欧拉公式。之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以。二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解的形式，可以推广到。的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程。因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨取。的通解，可以先求出它的两个解。的解符合叠加原理，所以实值函数。的通解也有三种不同的情_形。
2024-10-22 18:40:26
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原创 高等数学 7.6高阶线性微分方程
方程d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)=f(x)(1)\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{1}dx2d2y+P(x)dxdy+Q(x)=f(x)(1)叫做二阶线性微分方程。当方程右端 f(x)≡0f(x) \equiv 0f(x)≡0 时，方程叫做齐次的；当 f(x)≢0f(x) \not\equiv 0f(x)≡0 时，方程叫做
2024-10-22 14:09:18
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原创 高等数学 7.5可降阶的高阶微分方程
微分方程y(n)=f(x)(1)y^{(n)} = f(x) \tag{1}y(n)=f(x)(1)的右端仅含有自变量 xxx 。容易看出，只要把 y(n−1)y^{(n - 1)}y(n−1) 作为新的未知函数，那么 (1)(1)(1) 式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个 n−1n - 1n−1 阶的微分方程y(n−1)=∫f(x)dx+C1.y^{(n - 1)} = \int f(x) \mathrm{d}x + C_1.y(n−1)=∫f(x)dx+C1.同理可得
2024-10-21 18:48:36
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原创 高等数学 7.4一阶线性微分方程
时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的。由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于。即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法即可求得通解。解：这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。为了补充这个失去的解，在。上式右端第一项是对应的齐次线性方程。的两端，在通过上述代换便得线性方程。的通解，第二项是非齐次线性方程。也可用变量代换来解所给方程。是可分离变量的，分离变量后得。时，这是线性微分方程。这是一个线性方程，它的通解为。式，即得所求方程的通解为。便得到伯努利方程的通解。
2024-10-21 10:23:58
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原创 高等数学 7.3 齐次方程
时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令。无法求得，因此上述方法不能应用。就可以把它化为可分离变量的方程。使它们满足上述方程组。求出这齐次方程的通解后，在通解中以。以上介绍的方法可以应用于更一般的方程。的形式，那么就称这方程为齐次方程。，便得所给齐次方程的通解。，便得所给方程的通解为。如果一阶微分方程可化成。这是可分离变量的方程。中，引入新的未知函数。
2024-10-20 15:44:39
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原创 高等数学 7.2 可分离变量的微分方程
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含。的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当。一般地，如果一个一阶微分方程能写成。所以，如果已分离变量的方程。式两端积分后得到的关系式。对称，它既可以看作是以。所确定的隐函数，那么在。式所确定的隐函数是方程。，就用隐式给出了方程。中含有任意常数，因此。将上式两端积分，并由。
2024-10-20 10:31:50
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原创 高等数学 7.1 微分方程的基本概念
为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件。在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的。一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做。如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是。，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是。微分方程的解的图形是一条曲线，叫做。
2024-10-20 09:59:25
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原创 高等数学 6.2 定积分在几何学上的应用
圆柱、圆锥、圆台、球可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体，所以它们都是旋转体。从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。应用定积分，不但可以计算曲边梯形的面积，还可以计算一些比较复杂的平面图形的面积。的扇形的面积来近似代替，从而得到这窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素。是曲线弧的两个端点。为参数的曲线弧的参数方程。
2024-10-19 16:52:54
2639
原创 高等数学 6.1 定积分的元素法
的积分表达式的四个步骤中，主要的是第二步，这一步是要确定。分成许多部分区间，那么所求量相应地分成许多部分分量（即。为了说明这种方法，先回顾一下曲边梯形的面积问题。），而所求量等于所有部分量之和（即。一般地，如果某一实际问题中的所求量。个小区间，相应地把曲边梯形分成。在实用上，为了简便起见，省略下标。的近似值（途中阴影部分所示），即。在定积分的应用中，经常采用所谓的。），这一性质称为所求量对于区间。在上述问题中，所求量（即面积。上的窄曲边梯形的面积，这样，高阶的无穷小，以使和式。的积分表达式的步骤是。
2024-10-18 14:40:04
872
原创 高等数学 5.3 定积分的换元法和分部积分法
本来是整个定积分记号中不可分割的一部分，但由上述定理可知，在一定条件下，它确实可以。时，积分上下限也要换成相应于新变量。这就是说，应用换元公式时，如果把。后，不必像计算不定积分那样再要把。依据不定积分的分部积分法，若。是连续的周期函数，周期为。的函数，而只要把新变量。叫做定积分的换元公式。
2024-10-16 15:20:09
2011
原创 高等数学 5.2 微积分基本公式
这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。这个定理指出了一个重要的结论：连续函数。上的定积分等于它的任一个原函数在区间。的定积分然后求导，其结果还原为。它表明：一个连续函数在区间。，则在开区间内至少存在一点。上可导，并且它的导数。上的一个原函数，那么。，那么积分上限的函数。，由积分中值定理可知。
2024-10-14 18:51:08
2428
原创 高等数学 5.1 定积分的概念与性质
文章目录一、定积分的定义1.定义2.定积分的几何意义二、定积分的近似计算1.矩形法2.梯形法3.抛物线法三、定积分的性质一、定积分的定义1.定义定义 设函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上有界，在 [a,b][a, b][a,b] 中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=ba = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = ba=x
2024-10-14 16:27:03
3399
原创 高等数学 4.2 换元积分法（二）第二类换元法
第二类换元法是：适当选择变量代换 x=ψ(t)x = \psi(t)x=ψ(t) ，将积分 ∫f(x)dx\int f(x) \mathrm{d}x∫f(x)dx 化为积分 ∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt\int f[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt .这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为∫f(x)dx=∫f[ψ(t)]ψ′(t)dt\int f(x) \mathrm{d}x = \int f[\psi(t)] \psi'(t) \mathrm{
2024-10-09 10:28:24
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原创 高等数学 4.2 换元积分法（一）第一类换元法
设 f(u)f(u)f(u) 具有原函数 F(u)F(u)F(u) ，即F′(u)=f(u),∫f(u)du=F(u)+CF'(u) = f(u), \quad \int f(u) \mathrm{d}u = F(u) + CF′(u)=f(u),∫f(u)du=F(u)+C如果 uuu 是中间变量：u=φ(x)u = \varphi(x)u=φ(x) ，且设 φ(x)\varphi (x)φ(x) 可微，那么根据复合函数微分法，有dF[φ(x)]=f[φ(x)]φ′(x)dx\mathrm{d
2024-10-08 10:49:06
595
原创 高等数学 4.1 不定积分的概念与性质
表示）与求不定积分的运算（或简称积分运算，以记号。连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。的带有任意常数项的原函数称为。性质1对有限个函数都是成立的。上有原函数，即有一个函数。由此可见，微分运算（以记号。原函数存在定理 如果函数。为任意的常数时，表达式。上的一个原函数，那么。就有无限多个原函数。
2024-09-23 15:55:38
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原创 高等数学 3.7 曲率
这就是说，圆的弯曲程度到处都一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害。对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角。是圆上任意取定的一点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径。给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法则，求出。，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段。，这时弧的长度与弦的长度之比的极限等于1，即。增大的方向为曲线的正向。的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段。处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点。连续，从而曲线是光滑的）。），上述平均曲率的极限叫做曲线。
2024-09-23 10:54:18
1780
原创 高等数学 3.6 函数图像的描绘
的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘的更准确些，有时还需补充一些点，然后结合第（3）、（4）步中得到的结果，连接这些点画出函数。的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数。不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；（4）确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点；结合（3）、（4）中得到的结果，画出函数。在函数定义域内的全部零点，并求出函数。从而得到图形上的两个点。
2024-09-22 15:40:21
985
原创 高等数学 3.5 函数的极值与最大值最小值
处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值。因此，如果函数的驻点处的二阶导数为零，那么可以用一阶导数在驻点左、右邻近的符号来判定。但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那么就可以按一下步骤来求。的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。因此，可用如下方法求。还要指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数。
2024-09-20 15:07:31
6028
1
原创 高等数学 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么只要用函数的驻点及导数不存在的点来划分函数。内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点。左、右两侧邻近的符号，那么当两侧符号相反时，点。时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点。上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。是拐点，当两侧符号相同时，点。内的实根，并求出在区间。的定义区间，就能保证。
2024-09-20 10:56:16
2017
原创 高等数学 3.3 泰勒公式
泰勒（Taylor）中值定理1 如果函数 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处具有 nnn 阶导数，那么存在 x0x_0x0 的一个邻域，对于该领域内的任一 xxx ，有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x),(1)f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f^{''}(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \cfrac
2024-09-19 15:42:17
2765
原创 高等数学 3.2 洛必达法则
解：如果直接用洛必达法则，那么分母的导数（尤其是高阶导数）较繁，如果做一个等价无穷小替换，那么运算就方便得多。已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误结果。所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则先确定。当满足定理条件时，所求的极限当然存在（或为。不存在时（等于无穷大的情况除外），，也有相应的洛必达法则。型的未定式，也可通过。时，上式右端是未定式。时，上式右端是未定式。时，上式右端是未定式。存在（或为无穷大），，应用洛必达法则，得。，应用洛必达法则，得。，应用例7的结果，得。
2024-09-19 09:57:55
1971
原创 高等数学 3.1 微分中值定理
上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理，从上述论证中可以看出，虽然拉格朗日中值定理中的。的准确数值不知道，但在这里并不妨碍它的应用。上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有。(3) 在区间端点处的函数值相等，即。，证法完全类似），那么必定在开区间。上的函数值总是相等的，这就是说，可导的条件及极限的保号性，便得到。这两个数中至少有一个不等于。适合罗尔定理的条件，因此在。通常称导数等于零的点为函数的。内可导且导数恒为零，那么。处可导，如果对任意的。上必定取得它的最大值。，从而由费马引理可知。
2024-09-18 16:20:03
1406
原创 高等数学 2.5 函数的微分
定义设函数yfxy = f(x)yfx在某区间内有定义，x0x_0x0及x0Δxx0Δx在这区间内，如果函数的增量Δyfx0Δx−fx0Δyfx0Δx−fx0可表示为ΔyAΔxox(1)ΔyAΔxox1其中AAA是不依赖于Δx\Delta xΔx的常数，那么称函数yfxy = f(x)yfx在点x0x_0x0是可微的，而AΔx。
2024-09-17 18:39:15
1599
原创 高等数学 2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数
文章目录一、隐函数求导二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率一、隐函数求导函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 表示两个变量 yyy 与 xxx 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达，例如 y=sinxy = \sin xy=sinx ，y=lnx+1−x2y = \ln x + \sqrt{1 - x^2}y=lnx+1−x2 等。这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用
2024-09-16 15:20:12
3998
原创 高等数学 2.3 高阶导数
上式称为莱布尼茨（Leibniz）公式。按二项式定理展开写成。阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的。的某一去心邻域内必定具有一切低于。例 求正弦函数与余弦函数的。类似的，二阶导数的导数叫做。阶导数，也常说成函数。，三阶导数的导数叫做。用数学归纳法可以证明。代入莱布尼茨公式，得。
2024-09-15 17:10:45
1193
原创 高等数学 2.1 导数概念
文章目录一、导数的定义函数在一点处的导数与导函数单侧导数二、导数的几何意义三、函数可导性与连续性的关系一、导数的定义函数在一点处的导数与导函数定义 设函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在点 x0x_0x0 的某个邻域内有定义，当自变量 xxx 在 x0x_0x0 处取得增量 Δx\Delta xΔx （点 x0+Δxx_0 + \Delta xx0+Δx 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta
2024-09-14 15:05:02
1732
原创 高等数学 1.10 闭区间上连续函数的性质
的任何部分，只要两个自变量的数值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到所指定的接近程度。上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。上连续，且在这取件的端点取不同的函数值。如果对于任意给定的正数。但反过来不一定成立。，那么函数在该区间上不一定有界。根据零点定理，在开区间。上是连续的，但不是一致连续的。一致连续性表示，不论在区间。不符合一致连续的定义，所以。由上述定义可知，如果函数。内连续，或函数在闭区间上。** 一致连续性定义**是初等函数，它在区间。上的最大值与最小值。
2024-09-12 15:31:21
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原创 高等数学 1.8 函数的连续性与间断点
定义 设函数yfxy = f(x)yfx在点x0x_0x0的某一邻域内有定义，如果limΔx→0ΔylimΔx→0fx0Δx−fx00Δx→0limΔyΔx→0limfx0Δx−fx0)]0那么就称函数yfxy = f(x)yfx在点x0x_0x0连续。函数yfxy = f(x)yfx在点x0x_0x0。
2024-09-12 09:48:18
1172
原创 高等数学 1.7 无穷小的比较
注意：若分子或分母为若干因子的乘积，可对其中一个或多个因子做等价无穷小替换。定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子或分母都可用等价无穷小替换。显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况。是等价无穷小的充分必要条件为。
2024-09-11 16:33:29
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原创 高等数学 1.6 极限存在准则 两个重要极限
相应于单调有界数列必有极限的准则Ⅱ，函数极限也有类似的准则。对于自变量的不同变化过程。收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数。.于是由复合函数的极限运算法则得。的某个左邻域内单调并且有界，则。，准则的形式有所不同。柯西极限存在准则有时也叫做。准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为。
2024-09-11 15:16:51
7301
原创 高等数学 1.5极限运算法则
时，分子及分母的极限都是零，于是分子分母不能分别取极限。时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用。定理3中的（1）、（2）可以推广到有限个函数的情形。，则关于上的极限的运算法则不能应用，需要特别考虑。例5、例6、例7是下列一般情形的特例，即当。，不能应用商的极限的运算法则，但因。解：应用例6的结果及相关定理，可得。去除分子及分母，然后取极限，得。去除分子和分母，然后取极限，得。解：这里分母的极限不为零，故。：两个无穷小的和是无穷小。与无穷小的乘积是无穷小。无穷小的乘积是无穷小。
2024-09-11 11:15:55
2006
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