高等数学学习笔记 ☞ 不定积分的积分方法_不定积分学习笔记-优快云博客

1. 第一换元积分法

1. 基础概念：形如 $\int f[\phi (x)]{\phi }'(x)dx=\int f[\phi (x)]d\phi (x)\overset{\phi (x)=u}{\rightarrow}\int f(u)du$ 的过程，称为第一换元积分法。

2. 核心思想：通过对被积函数的观察(把被积函数的形式与积分表的积分公式进行比较)，把 $d$ 外部的部分项拿到 $d$ 的内部(求原函数)，

然后进行拼凑，把拼凑的部分看成一个整体，最后利用积分表里的积分公式求解不定积分。

3. 举例说明：

（1）求解 $\int 2xe^{x^{2}}dx$ 的不定积分：

$\int 2xe^{x^{2}}dx = \int e^{x^{2}}2xdx =\int e^{x^{2}}dx^{2}=e^{x^{2}}+C$

（2）求解 $\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx(a\neq 0)$ 的不定积分：

$\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{a^{2}}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}d\frac{x}{a}=\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a}+C$

（3）求解 $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx(a>0)$ 的不定积分：

$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}(1-(\frac{x}{a})^{2})}}dx=\int \frac{1}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}dx=$ $\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}d\frac{x}{a}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

（4）求解 $\int \tan xdx$ 与 $\int \cot xdx$ 的不定积分：(三角函数的奇数次处理方法)

$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{1}{\cos x}d\cos x=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{1}{\sin x}d\sin x=\ln |\sin x|+C$

（5）求解 $\int \cos^{2}xdx$ 的不定积分：(三角函数的偶数次处理方法)

$\int \cos^{2}xdx=\int \frac{\cos 2x +1}{2}dx=\int (\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1}{2})dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C$

（6）求解 $\int \csc xdx$ 的不定积分：

$\int \csc xdx=\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}dx=\int \frac{1}{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}*\cos^{2}\frac{x}{2}}d\frac{x}{2}=$

$\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}*\sec^{2} \frac{x}{2}d\frac{x}{2}=\int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}}d\tan \frac{x}{2}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$

又知： $\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2} \cos\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\csc x-\cot x$

所以： $\int \csc xdx=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C = \ln |\csc x-\cot x|+C$

（7）求解 $\int \sec xdx$ 的不定积分：

$\int \sec xdx=\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \frac{1}{\sin (x+\frac{\pi}{2})}d(x+\frac{\pi}{2})=\int \csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})$

又知： $\int \csc xdx= \ln |\csc x-\cot x|+C$

所以： $\int \csc (x+\frac{\pi}{2})d(x+\frac{\pi}{2})=\ln |\csc (x+\frac{\pi}{2})-\cot (x+\frac{\pi}{2})|+C$

即：