定积分的换元积分法

$x=\varphi (t)$
性质1)$x=\varphi (t)$单调（增减）
性质2）上下限也变，原变量下限对新变量下限；上对上；

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi (t)\prime dt$

例1：
$${\int }_0^8\frac{dx}{1+(\sqrt[3]{x})}\to t=\sqrt[3]{x}\to t^3=x$$
$$dx=3t^2$$
$$x从0到8，t从0到2$$
$$原式\to {\int }_0^2\frac{3t^2}{1+t}dt\to 3{\int }_0^2\frac{t^2-1+1}{1+t}dt\to 3{\int }_0^2(t-1)+\frac{1}{t+1}$$

例2：
$${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\to x=a\sin t\to x\in [0,a];\sin t\in [0,1]\to t\in [0,\frac{\pi }{2}]$$
$$dx=a\cos tdt\to {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{a^2-a^2{\sin }^{2}t}(a\cos t)dt=a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt=a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2t}{2}dt=\frac{1}{4}\pi a^2$$

解2：
$$y=\sqrt{a^2-x^2}\to y^2+x^2=a^2\to 圆在第一象限的面积$$

3

$$f(x)是偶函数，{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$
$$f(x)是奇函数，{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$$

$${\int }_{-1}^1\frac{{\sin }^{3}x+(\arctan x{)}^2}{1+x^2}dx={\int }_{-1}^1\frac{{\sin }^{3}x}{1+x^2}dx+{\int }_{-1}^1\frac{(\arctan x{)}^2}{1+x^2}dx$$
$$\to 2{\int }_0^1\frac{(\arctan x{)}^2}{1+x^2}dx$$