定积分笔记

定积分的定义

1.1 网的定义

1.2 定积分的定义

1.3 达布上、下和的定义

设有函数 $f(x)$，记网 $T$ 的达布上和与达布下和分别为 $S_T,s_T$。

1.4 给网孔添加任何点后新达布上和小于等于原达布上和，新达布下和大于等于原达布下和

1.5 任意达布上和不小于达布下和

1.6 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积的必要条件是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

可积的充要条件

2.1 有界函数 $f(x)$ 在闭区间 $I$ 上可积的充要条件是 $\underset{|T|\to 0}{\lim }|S_T-s_t|=0$。

2.2 设有网 T={xi∣i=0,1,...,n∧xi<xi+1∧x0=a,xn=b}T=\{x_i|i=0,1,...,n\wedge x_i<x_{i+1}\wedge x_0=a,x_n=b\}T={xi​∣i=0,1,...,n∧xi​<xi+1​∧x0​=a,xn​=b}，记 Mi=sup⁡{f(x)∣x∈[xi−1,xi]}M_i=\sup\{f(x)|x\in[x_{i-1},x_{i}]\}Mi​=sup{f(x)∣x∈[xi−1​,xi​]}，mi=inf⁡{f(x)∣x∈[xi−1,xi]}m_i=\inf\{f(x)|x\in[x_{i-1},x_{i}]\}mi​=inf{f(x)∣x∈[xi−1​,xi​]}，$w_i=M_i-m_i$，则有界函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是 $\forall \eta >0,\sigma >0,\exists \delta >0$，使得对任意直径 $|T|<0$ 的网 $T$，均有使满足 $w_i>\eta$ 的网孔面积之和 $<\sigma$。

2.3 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，$\forall \eta >0$ 均满足 $f(x)$ 在 $[a+\eta ,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

2.4 以下 $3$ 类函数可积。

$(1)$ 连续函数。

$(2)$ 单调函数。

$(3)$ 有限间断的连续函数。

定积分的相关性质

3.1 可积必有界。

**3.2 ** ${\int }_a^b(\lambda f(x)+\mu g(x))dx=\lambda {\int }_a^{b}f(x)dx+\mu {\int }_a^{b}g(x)dx$

3.3 ${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$

3.4 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可积，则 $|f(x)|$ 也在 $I$ 上可积，反过来则不一定成立。

3.5 $f(x)\ge 0\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$。

3.6 积分第一中值定理。

3.7 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$g(x)={\int }_a^{x}f(x)dx$，则有

$(1)$ $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

$(2)$ 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导且 $g^{\prime }(x)=f(x)$。

定积分的计算

4.1 微积分基本定理形式一。若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
推广 $f(x)$ 的条件可弱化为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上分段连续。

4.2 换元积分公式。设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\phi (x)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续可导且满足 $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$，则
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx$$
推广 $f(x)$ 的条件可弱化为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上分段连续，$\phi (x)$ 的条件可弱化为分段光滑。

4.3 分部积分公式。设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续可导，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$G(x)$ 是 $g(x)$ 的原函数，则
$${{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)G(x)dx$$
推广 $f(x)$ 的条件可弱化为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上分段光滑，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上分段连续。

4.4 微积分基本定理形式二。若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 上可导，且 $f^{\prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则
$${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$$
推广 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导的条件可弱化为在 $(a,b)$ 上只有有限个不可导点。

上面四个定理中各自的推广成立的原因在于变上限积分函数 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 是连续的，以及有限个点存在与否不影响定积分的数值。

积分不等式

定积分的实质是求和式的极限，极限具有保序性，故一些与求和式有关的不等式可以推广至定积分。

$(1)$ 柯西不等式的推广。
$${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le \left({\int }_a^b{f}^2(x)dx\right)\left({\int }_a^b{g}^2(x)dx\right)$$
也称柯西施瓦兹不等式（$\text{Cauchy–Schwarz}$）。

$(2)$ 三角不等式的推广。
$${\left({\int }_a^b(f(x)+g(x){)}^{2}dx\right)}^{\frac{1}{2}}\le {\left({\int }_a^b{f}^2(x)dx\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left({\int }_a^b{g}^2(x)dx\right)}^{\frac{1}{2}}$$
$(3)$ 设 $g(x)$ 是下凸函数，则有琴生不等式的推广。
$$g\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)\le {\int }_a^{b}g(f(x))dx$$

上凸函数的情况类似。