高等数学学习笔记 ☞ 导数的基础知识

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#导数的定义 #基本初等函数求导公式 #可导与连续的关系

于 2025-01-06 18:29:06 首次发布

1. 导数的定义

1. 函数在点 $x_{0}$ 处的导数定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义,取 $x_{0}$ 附近的点 $x_{0}+\Delta x$ ,对应的函数值分别 $f(x_{0})$ 和 $f(x_{0}+\Delta x)$ ,

令 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，取 $tan$ θ = $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ (也就是以上两点确定的直线的斜率)，当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，上述直线的斜率就逐渐趋近

于点 $x_{0}$ 处的切线的斜率，此时，称上述直线的斜率的极限值就是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的导数。

记作： ${f}'(x_{0})=\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$ 。

令 $x=x_{0}+\Delta x$ ，则 $\Delta x=x-x_{0}$ ，那么上式可改写为： ${f}'(x_{0})=\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 。

若上述直线的斜率的极限值是存在的，则称函数 $f(x)$ 在点

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