高等数学学习笔记 ☞ 导数的基础知识

原创 2025-01-15 00:01:02 2.5k 阅读 AI写同款

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高等数学学习笔记 ☞ 单调性、凸凹性、极值、最值、曲率单调性、凸凹性、极值、最值、曲率基础知识 阅读详情

AI摘要

博客介绍了导数的定义，包括函数在点处、开区间、闭区间的导数，以及左导数、右导数，还说明了导数的几何意义。给出基本初等函数的求导公式，探讨一元函数可导性与连续性的关系，证明了可导必连续，连续不一定可导。

1. 导数的定义

1. 函数在点 $x_{0}$ 处的导数定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义,取 $x_{0}$ 附近的点 $x_{0}+\Delta x$ ,对应的函数值分别 $f(x_{0})$ 和 $f(x_{0}+\Delta x)$ ,

令 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，取 $tan$ θ = $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ (也就是以上两点确定的直线的斜率)，当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，上述直线的斜率就逐渐趋近

于点 $x_{0}$ 处的切线的斜率，此时，称上述直线的斜率的极限值就是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的导数。

记作： ${f}'(x_{0})=\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$ 。

令 $x=x_{0}+\Delta x$ ，则 $\Delta x=x-x_{0}$ ，那么上式可改写为： ${f}'(x_{0})=\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 。

若上述直线的斜率的极限值是存在的，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导。记作 ${y}'={f}'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{df(x)}{dx}$ 。

2. 左导数的定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，若 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 的极限存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处左可导，

称 ${f}'_{-}(x_{0})=\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的左导数。

3. 右导数的定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，若 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 的极限存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处右可导。

称 ${f}'_{+}(x_{0})=\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的右导数。

备注：函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的左右导数都存在且相等。

4. 函数在开区间的导数定义：若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的每一个点都可导，则称函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导。

5. 函数在闭区间的导数定义：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的每一个点都可导，则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导。

函数在闭区间的可导的条件：①：函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导；②：在 $a$ 处右可导；③：在 $b$ 处左可导。

6. 导数的几何意义：函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的导数为函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的切线的斜率。

（1）切线方程： $y-y_{0}={f}'(x_{0})(x-x_{0})$ 。

（2）法线方程： $y-y_{0}=-\frac{1}{{f}'(x_{0})}(x-x_{0})$ 。

备注：

①：切线斜率不存在的情况：斜率是直线或曲线的切线与坐标轴横坐标正半轴方向所形成的夹角的正切值。

而正切值在角度为90度时不存在，因此斜率在直线或曲线的切线与横坐标轴垂直时不存在。

②：导数不存在：目前知识范围内，要么导数是无穷大，要么是左右导数不都存在或者左右导数都存在但不相等。

③：切线斜率与法线斜率的乘积为 -1。

小贴士：

①：一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，实际应用如： $v=dx/dt$ 。

②：不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

2. 基本初等函数的求导公式

（1） ${C}'=0$ （ $C$ 为常数）（2） ${(x^{n})}'=nx^{n-1}$

（3） ${(a^{x})}'=a^{x}lna$ ${(e^{x})}'=e^{x}$ （4） ${(log_{a}^{x})}'=\frac{1}{xlna}$ ${(lnx)}'=\frac{1}{x}$

（5） ${(sinx)}'=cosx$ （6） ${(cosx)}'=-sinx$

（7） ${(tanx)}'=\frac{1}{cos^{2}x}=sec^{2}x$ （8） ${(cotx)}'=-\frac{1}{sin^{2}x}=-csc^{2}x$

（9） ${(secx)}'=secxtanx$ （10） ${(cscx)}'=-cscxcotx$

（11） ${(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ （12） ${(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

（13） ${(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}$ （14） ${(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}$

3. 一元函数的可导性与连续性的关系

（1）可导必连续，连续不一定可导。

（2）可导的函数的曲线一定是光滑曲线，连续的函数的曲线不一定是光滑的。

可导必连续的证明：

当 $x\rightarrow x_{0}$ 时， $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}(x-x_{0})=0$ ，又知： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ 的极限存在，

则根据极限的运算法则可得： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} *\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}(x-x_{0}) = \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} *(x-x_{0}) = 0$ 。

对上式进行整理可得： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 。故可导必连续。