微积分 - 导数

码上生花

已于 2023-10-03 20:02:07 修改

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分类专栏：微积分文章标签：算法人工智能

于 2023-10-03 20:01:33 首次发布

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1、导数的定义

导数，也为叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念，导数可以理解为自变量的变化趋势，下面用一个图去展示：

当 y = f ( x ) 的自变量 x 在一点 $x_{0}$ 上产生一个增量 Δ x 时，函数输出值的增量 Δ y与自变量增量 Δ x 的比值在 Δ x 趋于 0 的极限 $\lim_{\triangle x \to 0 }$ 如果存在，那么有：

$f'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0 }\frac{f(x_{0}+\triangle x) - f(x_{0})}{\triangle x}$

2、左右导数

左导数：函数 f ( x ) 在某点 $x_{0}$ 的某一左半领域 ( $x_{0}$ − Δ x , $x_{0}$ ) 内有定义，当 Δ x 从左侧无限趋近于 0 时

$\lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}) - f(x_{0}-\triangle x)}{\triangle x}$ 的左极限存在，那么就称 f ( x ) 在 $x_{0}$ 点有左导数，该极限值就是左导数的值

右导数：函数 f ( x ) 在某点 $x_{0}$ 的某一右半领域 ( $x_{0}$ ， $x_{0}$ + Δ x ) 内有定义，当 Δ x 从右侧无限趋近于 0 时

$\lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x) - f(x_{0}) }{\triangle x}$ 的右极限存在，那么就称 f ( x ) 在 $x_{0}$ 点有右导数，该极限值就是右导数的值

下面的绝对值函数的左导数和右导数不相同，左导数是 − 1 ，右导数是 + 1 ，0 位置不可导 f ( x ) = ∣ x ∣

3、可导函数

函数可导的条件如下：

函数在该点的去心邻域内有定义。
函数在该点处的左、右导数都存在。
左导数＝右导数

$\sigma (x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$

4、函数求导公式

原函数	导函数
f(x)= C，C 是常数	f '(x) = 0
f(x)= $x^{n}$ ，n 是常数且n ≠ 0	f '(x) = $nx^{n-1}$
f(x)= lnx	f '(x) = $\frac{1}{x}$
f(x)= $log_{a}x$ a > 0且 a ≠ 1	f '(x) = $\frac{1}{xlna}$
f(x)= $e^{x}$	f '(x) = $e^{x}$
f(x)= $a^{x}$	f '(x) = $a^{x}lna$
f(x)= sinx	f '(x) = cosx
f(x)=cosx	f '(x) = -sinx